環かんring・イデアルideal・商環しょうかんquotient ring 基本きほん演習えんしゅう

rings環かん, idealsイデアル, and quotient rings商環しょうかん: basic exercises

1対応たいおうする講義こうぎ

1Corresponding lectures

2関連かんれん演習えんしゅう

2Related exercises

3問題もんだい1：環かんringの例れいを挙あげる

$$\mathbb{Z}$$\mathbb Z は通常つうじょうの足たし算ざんと掛かけ算ざんで環かんringか。

3Problem 1: give an example of a ring

Is $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z a ring環かん under ordinary addition and multiplication?

3.1解答かいとう

環かんringである。加法かほうadditionについて可換群かかんぐんであり、乗法じょうほうmultiplicationは結合法則けつごうほうそくを満みたし、分配法則ぶんぱいほうそくdistributive lawも成なり立たつ。乗法じょうほうmultiplication単位元たんいげんidentity elementは 1 である。

3.1Answer

Yes. It is an abelian group under addition, multiplication satisfies associativity, and the distributive law分配法則ぶんぱいほうそくs hold. The multiplicative identity is 1.

3.2解説かいせつ

$$\mathbb{Z}$$\mathbb Z では一般いっぱんに割わり算ざんは閉とじないが、環かんringでは乗法逆元じょうほうぎゃくげんを全すべてに要求ようきゅうしない。

3.2Explanation

Division is generally not closed in $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z, but a ring does not require every element to have a multiplicative inverse.

4問題もんだい2：イデアルidealを確認かくにんする

$$3\mathbb{Z}$$3\mathbb Z は $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z のイデアルidealか。

4Problem 2: check an idealイデアル

Is $$3\mathbb{Z}$$3\mathbb Z an idealイデアル of $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z?

4.1解答かいとう

イデアルidealである。まず $$0=3·0\in 3\mathbb{Z}$$0=3\cdot0\in3\mathbb Z なので、$$3\mathbb{Z}$$3\mathbb Z は空からではない。任意にんいの $$3a,3b\in 3\mathbb{Z}$$3a,3b\in3\mathbb Z について

である。また、任意にんいの $$r\in \mathbb{Z}$$r\in\mathbb Z について

である。

4.1Answer

Yes. First, $$0=3·0\in 3\mathbb{Z}$$0=3\cdot0\in3\mathbb Z, so $$3\mathbb{Z}$$3\mathbb Z is nonempty. For any $$3a,3b\in 3\mathbb{Z}$$3a,3b\in3\mathbb Z,

Also, for any $$r\in \mathbb{Z}$$r\in\mathbb Z,

4.2解説かいせつ

イデアルidealでは、引ひき算ざんで閉とじていることと、環かんringの任意にんいの元げんelementを掛かけても中なかに残のこることを確認かくにんする。

4.2Explanation

For an idealイデアル, we check closure閉包性へいほうせい under subtraction and that multiplying by any element of the ring leaves the result inside.

5問題もんだい3：商環しょうかんquotient ringを読よむ

$$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$$\mathbb Z/3\mathbb Z では、$$\left[2\right]+\left[2\right]$$[2]+[2] と $$\left[2\right]\left[2\right]$$[2][2] は何なにか。

5Problem 3: read a quotient ring商環しょうかん

In $$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$$\mathbb Z/3\mathbb Z, what are $$\left[2\right]+\left[2\right]$$[2]+[2] and $$\left[2\right]\left[2\right]$$[2][2]?

5.1解答かいとう

である。

5.1Answer

5.2解説かいせつ

商環しょうかんquotient ringでは、計算けいさん結果けっかを同おなじ剰余類じょうよるいresidue classで代だい表ひょうし直なおす。代表元だいひょうげんは一ひとつに固定こていされていない。

5.2Explanation

In a quotient ring商環しょうかん, the result of a calculation is represented again by the same residue class. A representative is not fixed uniquely.

6証明しょうめい演習えんしゅう：商環しょうかんquotient ringの演算えんざんが well-defined であること

6Proof exercise: quotient-ring operations are well-defined

6.1問題もんだい

$I$I を環かんring $R$R のイデアルidealとする。$a+I=a^{\prime }+I$a+I=a'+I、$b+I=b^{\prime }+I$b+I=b'+I なら、$(a+b)+I=(a^{\prime }+b^{\prime })+I$(a+b)+I=(a'+b')+I、$ab+I=a^{\prime }{b}^{\prime }+I$ab+I=a'b'+I であることを証明しょうめいせよ。

6.1Problem

Let $$I$$I be an idealイデアル of a ring $$R$$R. Prove that if $$a+I=a^{\prime }+I$$a+I=a'+I and $$b+I=b^{\prime }+I$$b+I=b'+I, then $$(a+b)+I=(a^{\prime }+b^{\prime })+I$$(a+b)+I=(a'+b')+I and $$ab+I=a^{\prime }{b}^{\prime }+I$$ab+I=a'b'+I.

6.2解答かいとう

$a^{\prime }-a\in I$a'-a\in I、$b^{\prime }-b\in I$b'-b\in I である。和わについては

である。よって $(a+b)+I=(a^{\prime }+b^{\prime })+I$(a+b)+I=(a'+b')+I である。

積せきについては

である。$I$I はイデアルidealなので $a^{\prime }(b^{\prime }-b)\in I$a'(b'-b)\in I、$(a^{\prime }-a)b\in I$(a'-a)b\in I である。したがって $a^{\prime }{b}^{\prime }-ab\in I$a'b'-ab\in I である。

6.2Answer

We have $$a^{\prime }-a\in I$$a'-a\in I and $$b^{\prime }-b\in I$$b'-b\in I. For addition,

Thus $$(a+b)+I=(a^{\prime }+b^{\prime })+I$$(a+b)+I=(a'+b')+I.

For multiplication,

Since $$I$$I is an idealイデアル, $$a^{\prime }(b^{\prime }-b)\in I$$a'(b'-b)\in I and $$(a^{\prime }-a)b\in I$$(a'-a)b\in I. Therefore $$a^{\prime }{b}^{\prime }-ab\in I$$a'b'-ab\in I.

6.3解説かいせつ

イデアルidealの吸収性きゅうしゅうせいは、代表元だいひょうげんを変かえても積せきの類るいが変かわらないことを保証ほしょうする。

6.3Explanation

The absorption property of an idealイデアル guarantees that changing representatives does not change the class of the product.