整域せいいきintegral domain・体たいfield・有限体ゆうげんたいfinite field 基本きほん演習えんしゅう

integral domains整域せいいき, fields体たい, and finite fields有限体ゆうげんたい: basic exercises

1対応たいおうする講義こうぎ

1Corresponding lectures

2関連かんれん演習えんしゅう

2Related exercises

3問題もんだい1：零因子れいいんしを見みつける

$$\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$$\mathbb Z/8\mathbb Z で零因子れいいんしを一ひとつ見みつけよ。

3Problem 1: find a zero divisor零因子れいいんし

Find one zero divisor零因子れいいんし in $$\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$$\mathbb Z/8\mathbb Z.

3.1解答かいとう

$$\left[2\right]$$[2] は零因子れいいんしである。実際じっさい、

であり、$$\left[2\right]\ne \left[0\right]$$[2]\ne[0]、$$\left[4\right]\ne \left[0\right]$$[4]\ne[0] である。

3.1Answer

$$\left[2\right]$$[2] is a zero divisor零因子れいいんし. Indeed,

and $$\left[2\right]\ne \left[0\right]$$[2]\ne[0], $$\left[4\right]\ne \left[0\right]$$[4]\ne[0].

3.2解説かいせつ

零因子れいいんしは、0 でない元げんelementどうしの積せきproductを 0 にしてしまう元げんelementである。

3.2Explanation

A zero divisor零因子れいいんし is an element that makes the product of two nonzero elements become 0.

4問題もんだい2：体たいfieldか判定はんていする

$$\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$$\mathbb Z/7\mathbb Z は体たいfieldか。

4Problem 2: decide whether it is a field体たい

Is $$\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$$\mathbb Z/7\mathbb Z a field体たい?

4.1解答かいとう

体たいfieldである。7 は素数そすうprime numberなので、0 でない任意にんいの $$\left[a\right]$$[a] について $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(a,7)=1$$\gcd(a,7)=1 である。ベズーの等式Bezout identityにより、ある整数せいすう $$u,v$$u,v が存在そんざいして

となる。したがって剰余類じょうよるいでは $$\left[a\right]\left[u\right]=\left[1\right]$$[a][u]=[1] であり、乗法逆元じょうほうぎゃくげんmultiplicative inverseが存在そんざいする。

4.1Answer

Yes. Since 7 is prime, for every nonzero $$\left[a\right]$$[a] we have $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(a,7)=1$$\gcd(a,7)=1. By the Bezout identityベズーの等式, there exist integers $$u,v$$u,v such that

Therefore, in residue classes, $$\left[a\right]\left[u\right]=\left[1\right]$$[a][u]=[1], so a multiplicative inverse乗法逆元じょうほうぎゃくげん exists.

4.2解説かいせつ

$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb Z/n\mathbb Z が体たいfieldになるのは、$$n$$n が素数そすうprime numberのときである。

4.2Explanation

The ring $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb Z/n\mathbb Z is a field体たい exactly when $$n$$n is prime.

5問題もんだい3：体たいfieldでない例れいを説明せつめいする

$$\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$$\mathbb Z/9\mathbb Z が体たいfieldでない理由りゆうを説明せつめいせよ。

5Problem 3: explain a non-field体たい example

Explain why $$\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$$\mathbb Z/9\mathbb Z is not a field体たい.

5.1解答かいとう

$$\left[3\right]\ne \left[0\right]$$[3]\ne[0] だが、

である。したがって零因子れいいんしがあるので体たいfieldではない。

5.1Answer

Although $$\left[3\right]\ne \left[0\right]$$[3]\ne[0],

Thus there is a zero divisor零因子れいいんし, so it is not a field体たい.

5.2解説かいせつ

体たいfieldには零因子れいいんしがない。一般いっぱんに $$n=ab$$n=ab、$$1<a,b<n$$1<a,b<n と分解ぶんかいできる合成数ごうせいすう $$n$$n では、$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb Z/n\mathbb Z の中なかで

となり、しかも $$\left[a\right]\ne \left[0\right]$$[a]\ne[0]、$$\left[b\right]\ne \left[0\right]$$[b]\ne[0] である。したがって合成数ごうせいすう法ほうの剰余じょうよ環かんでは、合成数ごうせいすうの因子いんしから零因子れいいんしが生しょうじる。

5.2Explanation

A field体たい has no zero divisors零因子れいいんし. In general, if a composite number $$n$$n factors as $$n=ab$$n=ab with $$1<a,b<n$$1<a,b<n, then in $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb Z/n\mathbb Z,

while $$\left[a\right]\ne \left[0\right]$$[a]\ne[0] and $$\left[b\right]\ne \left[0\right]$$[b]\ne[0]. Thus, in a residue ring modulo a composite number, zero divisors零因子れいいんし arise from factors of the composite number.

6証明しょうめい演習えんしゅう：有限整域ゆうげんせいいきが体たいfieldになること

6Proof exercise: every finite integral domain整域せいいき is a field体たい

6.1問題もんだい

有限ゆうげんな整域せいいきintegral domain $R$R は体たいfieldであることを証明しょうめいせよ。

6.1Problem

Prove that a finite integral domain整域せいいき $$R$$R is a field体たい.

6.2解答かいとう

$a\in R$a\in R、$a\ne 0$a\ne0 を取とる。写像しゃぞう ${\mu }_a:R\to R$\mu_a:R\to R を ${\mu }_a\left(x\right)=ax$\mu_a(x)=ax で定義ていぎする。${\mu }_a\left(x\right)={\mu }_a\left(y\right)$\mu_a(x)=\mu_a(y) なら $ax=ay$ax=ay である。$R$R は整域せいいきintegral domainなので消去法則しょうきょほうそくより $x=y$x=y である。したがって ${\mu }_a$\mu_a は単射たんしゃである。

$R$R は有限集合ゆうげんしゅうごうなので、$R$R から $R$R への単射たんしゃは全射ぜんしゃである。よって $1\in R$1\in R に対たいして、ある $x\in R$x\in R が存在そんざいして $ax=1$ax=1 である。つまり $a$a は逆元ぎゃくげんinverse elementを持もつ。

6.2Answer

Take $$a\in R$$a\in R with $$a\ne 0$$a\ne0. Define the map $${\mu }_a:R\to R$$\mu_a:R\to R by $${\mu }_a\left(x\right)=ax$$\mu_a(x)=ax. If $${\mu }_a\left(x\right)={\mu }_a\left(y\right)$$\mu_a(x)=\mu_a(y), then $$ax=ay$$ax=ay. Since $$R$$R is an integral domain整域せいいき, cancellation gives $$x=y$$x=y. Therefore $${\mu }_a$$\mu_a is injective単射たんしゃ.

Because $$R$$R is finite, every injective単射たんしゃ map from $$R$$R to $$R$$R is surjective全射ぜんしゃ. Hence for $$1\in R$$1\in R, there exists $$x\in R$$x\in R such that $$ax=1$$ax=1. Thus $$a$$a has an inverse.

6.3解説かいせつ

有限性ゆうげんせいは単射たんしゃから全射ぜんしゃを導みちびくために使つかう。無限むげんの整域せいいきintegral domainでは、この議論ぎろんはそのままでは使つかえない。

有限集合ゆうげんしゅうごうでは、単射たんしゃなら像ぞうの元げん数すうが入力にゅうりょくの元げん数すうと同おなじである。入力にゅうりょくと目標もくひょうが同おなじ有限集合ゆうげんしゅうごうなので、像ぞうは目標もくひょう全体ぜんたいになり、全射ぜんしゃである。

6.3Explanation

Finiteness is used to derive surjectivity from injectivity. In an infinite integral domain整域せいいき, this argument cannot be used as it stands.

For a finite set, injectivity means that the image has the same number of elements as the input. Since the input and target are the same finite set here, the image must be the whole target, so the map is surjective.