整域せいいきintegral domain・零因子れいいんしzero divisor・多項式環たこうしきかんpolynomial ring

環かんでは、0 でない二ふたつの元げんを掛かけた結果けっかが 0 になることがある。この現象げんしょうは、掛かけ算ざんによって情報じょうほうが潰つぶれることを意味いみする。その原因げんいんになる元げんを零因子れいいんしという。

integral domains整域せいいき, zero divisors零因子れいいんし, and polynomial rings多項式環たこうしきかん

In a ring環かん, the product of two nonzero elements may become 0. This phenomenon means that information is lost through multiplication. An element that causes this phenomenon is called a zero divisor零因子れいいんし.

1零因子れいいんし

環かん $$R$$R の 0 でない元げん $$a$$a が零因子れいいんしであるとは、0 でない元げん $$b$$b が存在そんざいして

または

となることである。

たとえば $$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$$\mathbb Z/6\mathbb Z では、

である。$$\left[2\right]$$[2] も $$\left[3\right]$$[3] も 0 ではないので、零因子れいいんしである。

1Zero divisors

A nonzero element $$a$$a of a ring $$R$$R is a zero divisor零因子れいいんし if there exists a nonzero element $$b$$b such that

or

For example, in $$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$$\mathbb Z/6\mathbb Z,

Both $$\left[2\right]$$[2] and $$\left[3\right]$$[3] are nonzero, so they are zero divisors零因子れいいんし.

2整域せいいき

整域せいいきintegral domainとは、0 でない元げんどうしの積せきが 0 にならない可換環かかんかんである。つまり、

が成なり立たつ。

整数せいすう環かん $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z は整域せいいきである。実数じっすう体たい $$\mathbb{R}$$\mathbb R も整域せいいきである。一方いっぽう、$$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$$\mathbb Z/6\mathbb Z は整域せいいきではない。

2Integral domains

An integral domain整域せいいき is a commutative ring in which the product of nonzero elements is never 0. That is,

holds.

The integer ring $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z is an integral domain整域せいいき. The real field体たい $$\mathbb{R}$$\mathbb R is also an integral domain整域せいいき. On the other hand, $$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$$\mathbb Z/6\mathbb Z is not an integral domain整域せいいき.

3何故なぜ整域せいいきが重要じゅうようか

整域せいいきでは、0 でない元げんによる掛かけ算ざんで情報じょうほうが潰つぶれない。たとえば $$a\ne 0$$a\ne0 のとき、

が成なり立たつ。実際じっさい、両辺りょうへんを移項いこうすると

であり、整域せいいきなので $$b-c=0$$b-c=0 である。

ここでは割わり算ざんを使つかっていない。0 でない元げんで割わったのではなく、零因子れいいんしがないことを使つかって消去しょうきょしている。

3Why integral domains整域せいいき are important

In an integral domain整域せいいき, multiplying by a nonzero element does not destroy information. For example, if $$a\ne 0$$a\ne0, then

Indeed, moving all terms to one side gives

and since the ring is an integral domain整域せいいき, $$b-c=0$$b-c=0.

No division is used here. We are not dividing by a nonzero element; we are using the absence of zero divisors零因子れいいんし to cancel.

4多項式環たこうしきかん

環かん $$R$$R 上うえの多項式たこうしき全体ぜんたい

は環かんになる。係数けいすうが体たい $$F$$F に属ぞくする場合ばあい、$$F\left[x\right]$$F[x] は特とくに重要じゅうようである。

$$F\left[x\right]$$F[x] では、次つぎ数かず、割わり算ざん、既約多項式きやくたこうしきなどを使つかって整数せいすう論ろんに似にた議論ぎろんができる。

4Polynomial rings

The set of all polynomials over a ring $$R$$R,

forms a ring. When the coefficients belong to a field体たい $$F$$F, the ring $$F\left[x\right]$$F[x] is especially important.

In $$F\left[x\right]$$F[x], one can use degree, division, irreducible polynomials, and related ideas to make arguments similar to those in number theory.

5体たいとの関係かんけい

体たいの正式せいしきな定義ていぎは次つぎの講義こうぎで扱あつかう。この節せつでは先取さきどりとして、体たいを「0 でない全すべての元げんが乗法逆元じょうほうぎゃくげんを持もつ可換環かかんかん」として使つかう。

全すべての体たいは整域せいいきである。何故なぜなら、$$a\ne 0$$a\ne0 で $$ab=0$$ab=0 なら、$$a^{-1}$$a^{-1} を掛かけて

が導みちびかれるからである。この場面ばめんでは $$a^{-1}$$a^{-1} を使つかうため、$$a\ne 0$$a\ne0 の確認かくにんが必要ひつようである。

5Relation with fields体たい

The formal definition of a field体たい is given in the next lecture. In this section, as a preview, we use the following minimum meaning: a field is a commutative ring in which every nonzero element has a multiplicative inverse.

Every field体たい is an integral domain整域せいいき. If $$a\ne 0$$a\ne0 and $$ab=0$$ab=0, multiplying by $$a^{-1}$$a^{-1} gives

This step uses $$a^{-1}$$a^{-1}, so it is necessary to check that $$a\ne 0$$a\ne0.

6証明しょうめい補足ほそく：整域せいいきで消去法則しょうきょほうそくが成なり立たつ理由りゆう

整域せいいきintegral domain では、$a\ne 0$a\ne 0 かつ $ab=ac$ab=ac なら $b=c$b=c である。

証明しょうめいする。$ab=ac$ab=ac から

である。分配法則ぶんぱいほうそくより

である。$a\ne 0$a\ne0 であり、整域せいいきには零因子れいいんしがないので、$b-c=0$b-c=0 でなければならない。よって $b=c$b=c である。

ここで文字式もじしきの割わり算ざんは使つかっていない。$a$a で割わるのではなく、「$a\ne 0$a\ne0 で $a(b-c)=0$a(b-c)=0 なら $b-c=0$b-c=0」という零因子れいいんしの不存在ふそんざいを使つかっている。体たいでの消去しょうきょは逆元ぎゃくげんで掛かける方法ほうほうでも説明せつめいできるが、整域せいいきではこの証明しょうめいの方ほうが本質ほんしつである。

6Proof supplement: why cancellation holds in an integral domain整域せいいき

In an integral domain整域せいいき, if $$a\ne 0$$a\ne 0 and $$ab=ac$$ab=ac, then $$b=c$$b=c.

Proof. From $$ab=ac$$ab=ac,

By the distributive law,

Since $$a\ne 0$$a\ne0 and there are no zero divisors零因子れいいんし in an integral domain整域せいいき, $$b-c=0$$b-c=0 must hold. Hence $$b=c$$b=c.

Here we do not divide symbolic expressions. Instead of dividing by $$a$$a, we use the fact that if $$a\ne 0$$a\ne0 and $$a(b-c)=0$$a(b-c)=0, then $$b-c=0$$b-c=0 because zero divisors零因子れいいんし do not exist. Cancellation in a field体たい can also be explained by multiplying by an inverse, but in an integral domain整域せいいき this proof証明しょうめい is the essential one.

7演習えんしゅうリンク

7Exercise link

8まとめ

零因子れいいんしは、0 でない元げんどうしの積せきを 0 にしてしまう元げんである。整域せいいきではそのような潰つぶれが起おきない。多項式環たこうしきかんは、環論かんろんと代数だいすう・整数せいすう論ろんをつなぐ基本きほん的てきな例れいである。

8Summary

A zero divisor零因子れいいんし is an element that makes the product of nonzero elements become 0. In an integral domain整域せいいき, such collapse does not occur. A polynomial ring多項式環たこうしきかん is a basic example connecting ring theory with algebra and number theory.

9定理ていり：整域せいいき上うえの多項式環たこうしきかんも整域せいいき

$$R$$R が整域せいいきintegral domainなら、$$R\left[x\right]$$R[x] も整域せいいきである。

証明しょうめいする。0 でない多項式たこうしき $$f\left(x\right),g\left(x\right)\in R\left[x\right]$$f(x),g(x)\in R[x] を取とる。$$f$$f の最高次さいこうじの係数けいすうを $$a$$a、$$g$$g の最高次さいこうじの係数けいすうを $$b$$b とする。$$f,g$$f,g は 0 でないので $$a\ne 0$$a\ne0、$$b\ne 0$$b\ne0 である。$$R$$R は整域せいいきなので $$ab\ne 0$$ab\ne0 である。

積せき $$fg$$fg の最高次さいこうじの係数けいすうは $$ab$$ab なので、$$fg$$fg は 0 多項式たこうしきではない。したがって 0 でない多項式たこうしきどうしの積せきは 0 にならず、$$R\left[x\right]$$R[x] は整域せいいきである。

この定理ていりにより、体たい $$F$$F 上うえの多項式環たこうしきかん $$F\left[x\right]$$F[x] では次数じすうを使つかった議論ぎろんが安定あんていする。

9Theorem: a polynomial ring多項式環たこうしきかん over an integral domain整域せいいき is an integral domain整域せいいき

If $$R$$R is an integral domain整域せいいき, then $$R\left[x\right]$$R[x] is also an integral domain整域せいいき.

Proof. Take nonzero polynomials $$f\left(x\right),g\left(x\right)\in R\left[x\right]$$f(x),g(x)\in R[x]. Let $$a$$a be the leading coefficient of $$f$$f, and let $$b$$b be the leading coefficient of $$g$$g. Since $$f$$f and $$g$$g are nonzero, $$a\ne 0$$a\ne0 and $$b\ne 0$$b\ne0. Because $$R$$R is an integral domain整域せいいき, $$ab\ne 0$$ab\ne0.

The leading coefficient of the product $$fg$$fg is $$ab$$ab, so $$fg$$fg is not the zero polynomial. Therefore the product of two nonzero polynomials is nonzero, and $$R\left[x\right]$$R[x] is an integral domain整域せいいき.

This theorem explains why arguments using degree work stably in the polynomial ring多項式環たこうしきかん $$F\left[x\right]$$F[x] over a field体たい $$F$$F.