群ぐんgroupと部分群ぶぶんぐんsubgroup 基本きほん演習えんしゅう

groups群ぐん and subgroups部分群ぶぶんぐん: basic exercises

1対応たいおうする講義こうぎ

1Corresponding lectures

2関連かんれん演習えんしゅう

2Related exercises

3問題もんだい1：群ぐんgroupか判定はんていする

$$(\mathbb{N},+)$$(\mathbb N,+) は群ぐんgroupか。

3Problem 1: decide whether it is a group

Is $$(\mathbb{N},+)$$(\mathbb N,+) a group群ぐん?

3.1解答かいとう

群ぐんgroupではない。0 を含ふくめる流儀りゅうぎなら単位元たんいげんidentity elementはあるが、たとえば 3 の加法逆元かほうぎゃくげん $$-3$$-3 が $$\mathbb{N}$$\mathbb N に含ふくまれないからである。

3.1Answer

It is not a group. If one uses a convention in which 0 is included, then there is an identity element単位元たんいげん, but the additive inverse $$-3$$-3 of 3 is not in $$\mathbb{N}$$\mathbb N.

3.2解説かいせつ

群ぐんgroupでは、全すべての元げんelementに逆元ぎゃくげんinverse elementが必要ひつようである。閉包性へいほうせいclosureや結合法則けつごうほうそくassociativityだけでは不ふ十分じゅうぶんである。

3.2Explanation

In a group, every element must have an inverse. Closure and associativity結合法則けつごうほうそく alone are not enough.

4問題もんだい2：部分群ぶぶんぐんsubgroupか判定はんていする

$$2\mathbb{Z}$$2\mathbb Z は $$(\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z,+) の部分群ぶぶんぐんsubgroupか。

4Problem 2: decide whether it is a subgroup部分群ぶぶんぐん

Is $$2\mathbb{Z}$$2\mathbb Z a subgroup部分群ぶぶんぐん of $$(\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z,+)?

4.1解答かいとう

部分群ぶぶんぐんsubgroupである。空からでなく、任意にんいの $$2a,2b\in 2\mathbb{Z}$$2a,2b\in2\mathbb Z について

である。

4.1Answer

It is a subgroup部分群ぶぶんぐん. It is nonempty, and for any $$2a,2b\in 2\mathbb{Z}$$2a,2b\in2\mathbb Z,

4.2解説かいせつ

加法かほう群ぐんgroupでは、部分群ぶぶんぐんsubgroup判定はんていは差さで閉とじているかを見みるとよい。

4.2Explanation

For an additive group, the subgroup部分群ぶぶんぐん test can be checked by closure閉包性へいほうせい under differences.

5問題もんだい3：生成せいせいされる部分群ぶぶんぐんsubgroup

$$(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z/8\mathbb Z,+) で $$\left[2\right]$$[2] が生成せいせいする部分群ぶぶんぐんsubgroupを求もとめよ。

5Problem 3: generated subgroup部分群ぶぶんぐん

In $$(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z/8\mathbb Z,+), find the subgroup部分群ぶぶんぐん generated by $$\left[2\right]$$[2].

5.1解答かいとう

$$\left[2\right]$$[2] を繰くり返かえし足たすと、

が得えられる。したがって

である。

5.1Answer

Repeatedly adding $$\left[2\right]$$[2] gives

Therefore

5.2解説かいせつ

生成せいせいされる部分群ぶぶんぐんsubgroupは、指定していした元げんelementから演算えんざんoperationと逆元ぎゃくげんinverse elementを使つかって到達とうたつできる元げんelement全体ぜんたいである。

5.2Explanation

The subgroup部分群ぶぶんぐん generated by a specified element is the set of all elements reachable from it using the operation and inverses.

6証明しょうめい演習えんしゅう：群ぐんgroupの基本性質きほんせいしつを証明しょうめいする

6Proof exercise: prove basic properties of groups

6.1問題もんだい

群ぐんgroupで単位元たんいげんidentity elementが一意いちいであること、逆元ぎゃくげんinverse elementが一意いちいであること、消去法則しょうきょほうそくが成なり立たつことを証明しょうめいせよ。

6.1Problem

Prove that the identity element単位元たんいげん in a group is unique, that inverses are unique, and that the cancellation law holds.

6.2解答かいとう

$e,e^{\prime }$e,e' が単位元たんいげんidentity elementなら、$e{e}^{\prime }=e^{\prime }$ee'=e' かつ $e{e}^{\prime }=e$ee'=e なので $e=e^{\prime }$e=e' である。

$b,c$b,c が $a$a の逆元ぎゃくげんinverse elementなら、$ab=e$ab=e、$ca=e$ca=e である。したがって

である。

$ab=ac$ab=ac なら、左ひだりから $a^{-1}$a^{-1} を掛かけて

となる。よって $b=c$b=c である。

6.2Answer

If $$e,e^{\prime }$$e,e' are identity element単位元たんいげんs, then $$e{e}^{\prime }=e^{\prime }$$ee'=e' and $$e{e}^{\prime }=e$$ee'=e, so $$e=e^{\prime }$$e=e'.

If $$b,c$$b,c are both inverses of $$a$$a, then $$ab=e$$ab=e and $$ca=e$$ca=e. Hence

If $$ab=ac$$ab=ac, multiply by $$a^{-1}$$a^{-1} from the left:

Therefore $$b=c$$b=c.

6.3解説かいせつ

群ぐんgroupの可逆性かぎゃくせいは、等式とうしきを戻もどせることとして表あらわれる。消去法則しょうきょほうそくはその代表例だいひょうれいである。

6.3Explanation

Invertibility in a group appears as the ability to reverse equations. The cancellation law is a representative example.