半群はんぐんsemigroup・モノイドmonoid・群ぐんgroupへの入口いりぐち

群ぐんの定義ていぎをいきなり四よっ条件じょうけんで覚おぼえると、何故なぜその条件じょうけんが必要ひつようなのかが見みえにくい。そこで、二項演算にこうえんざんに条件じょうけんを一ひとつずつ足たしていく。

という流ながれで見みると、群ぐんは「演算えんざんを繰くり返かえせて、何なにもしない操作そうさがあり、さらに戻もどせる構造こうぞう」であることが分わかる。

Entrance to semigroups半群はんぐん, monoidsモノイド, and groups群ぐん

If the definition定義ていぎ of a group群ぐん is memorized all at once as four conditions, it is hard to see why those conditions are needed. Instead, add conditions one by one to a binary operation二項演算にこうえんざん.

Viewed in this order順序じゅんじょ, a group群ぐん is a structure in which operations can be repeated, there is an operation that does nothing, and operations can be undone.

1半群はんぐん

半群はんぐんsemigroupとは、集合しゅうごう $$S$$S と結合法則けつごうほうそくを満みたす二項演算にこうえんざん $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}$$\ast の組くみである。

半群はんぐんでは、単位元たんいげんや逆元ぎゃくげんは要求ようきゅうしない。結合法則けつごうほうそくがあるため、長ながい積せき

の括弧かっこを省略しょうりゃくできる。

1Semigroups

A semigroup半群はんぐん is a pair consisting of a set $$S$$S and a binary operation二項演算にこうえんざん $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}$$\ast satisfying the associative law結合法則けつごうほうそく.

A semigroup does not require an identity element単位元たんいげん or inverse elements. Because associativity holds, parentheses can be omitted in a long product such as

2モノイド

モノイドmonoidとは、単位元たんいげんを持もつ半群はんぐんである。つまり、ある元げん $$e$$e が存在そんざいして、任意にんいの $$a$$a について

が成なり立たつ。

たとえば自然数全体しぜんすうぜんたい $$\mathbb{N}$$\mathbb N は、足たし算ざんについて 0 を単位元たんいげんとするモノイドである。ただし自然数しぜんすうの範囲はんいでは、全すべての元げんに加法逆元かほうぎゃくげんがあるわけではないので群ぐんではない。

2Monoids

A monoidモノイド is a semigroup with an identity element単位元たんいげん. That is, there exists an element $$e$$e such that for every $$a$$a,

For example, the natural numbers $$\mathbb{N}$$\mathbb N form a monoid under addition with identity element単位元たんいげん 0. However, within the natural numbers, not every element has an additive inverse, so this is not a group.

3群ぐん

群ぐんgroupとは、全すべての元げんが逆元ぎゃくげんを持もつモノイドである。任意にんいの $$a$$a に対たいして、ある $$a^{-1}$$a^{-1} が存在そんざいして

となる。

群ぐんでは、演算えんざんによって進すすんだ操作そうさを逆元ぎゃくげんで戻もどせる。この「戻もどせる」性質せいしつが、群ぐんを対称性たいしょうせいや変換へんかんの数学すうがくにしている。

3Groups

A group群ぐん is a monoid in which every element has an inverse. For every $$a$$a, there exists an element $$a^{-1}$$a^{-1} such that

In a group, an operation that moves forward can be undone by an inverse. This property of being able to return is what makes groups the mathematics of symmetries and transformations.

4具体例ぐたいれい：自然数しぜんすう、整数せいすう、有理数ゆうりすう

足たし算ざんで見みると、

はモノイドである。0 は単位元たんいげんだが、たとえば 3 を足たして 0 に戻もどす自然数しぜんすうは存在そんざいしない。

は群ぐんである。整数せいすう $$a$$a の逆元ぎゃくげんは $$-a$$-a である。

掛かけ算ざんで見みると、

は群ぐんである。0 を除のぞく理由りゆうは、0 には乗法逆元じょうほうぎゃくげんが存在そんざいしないからである。

4Concrete examples: natural numbers, integers, and rational numbers

With addition,

is a monoid. The identity element単位元たんいげん is 0, but there is no natural number that brings 3 back to 0 by addition.

is a group群ぐん. The inverse of an integer $$a$$a is $$-a$$-a.

With multiplication,

is a group群ぐん. The reason for excluding 0 is that 0 has no multiplicative inverse.

5何なにが変かわり、何なにが保存ほぞんされるか

半群はんぐんからモノイドへ進すすむと、「何なにもしない操作そうさ」が使つかえるようになる。モノイドから群ぐんへ進すすむと、「戻もどす操作そうさ」が使つかえるようになる。一方いっぽうで、いずれも演算えんざんが同おなじ集合しゅうごうの中なかで閉とじていることと、結合法則けつごうほうそくは保存ほぞんされる。

5What changes and what is preserved

Moving from semigroups to monoids makes the "do nothing" operation available. Moving from monoids to groups makes the "undo" operation available. In all cases, closure閉包性へいほうせい of the operation inside the same set and the associative law結合法則けつごうほうそく are preserved.

6演習えんしゅうリンク

6Exercise link

7まとめ

半群はんぐんは結合法則けつごうほうそくを持もつ演算えんざん、モノイドは単位元たんいげんを持もつ半群はんぐん、群ぐんは全すべての元げんに逆元ぎゃくげんがあるモノイドである。この階段かいだんを理解りかいすると、群ぐんの公理こうりが必要最小限ひつようさいしょうげんの条件じょうけんとして見みえる。

7Summary

A semigroup半群はんぐん is an operation with associativity, a monoidモノイド is a semigroup with an identity element単位元たんいげん, and a group群ぐん is a monoid in which every element has an inverse. Understanding this staircase makes the group axioms appear as minimal necessary conditions.

8反例はんれい補足ほそく：半群はんぐん・モノイド・群ぐんの階層かいそうは真しんに異ことなる

半群はんぐん、モノイド、群ぐんは条件じょうけんを一ひとつずつ足たしていく階層かいそうである。ただし、上うえの概念がいねんが下したの概念がいねんと同おなじになるわけではない。

$$(Z_{>0},+)$$(\mathbb Z_{>0},+) は結合法則けつごうほうそくを満みたすので半群はんぐんsemigroupである。しかし単位元たんいげん 0 が $$Z_{>0}$$\mathbb Z_{>0} に入はいっていないのでモノイドではない。

$$(Z_{\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0},+)$$(\mathbb Z_{\ge0},+) は 0 を単位元たんいげんに持もつのでモノイドmonoidである。しかし 1 の加法逆元かほうぎゃくげん $$-1$$-1 が $$Z_{\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0}$$\mathbb Z_{\ge0} に入はいっていないので群ぐんではない。

$$(\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z,+) は 0 とすべての加法逆元かほうぎゃくげんを持もつので群ぐんである。このように、各段階かくだんかいで新あたらしく要求ようきゅうした条件じょうけんが本当ほんとうに効きいている。

8Counterexample supplement: the hierarchy of semigroups半群はんぐん, monoidsモノイド, and groups群ぐん is strict

Semigroups, monoids, and groups form a hierarchy obtained by adding conditions one at a time. However, the stronger notions do not collapse to the weaker ones.

$$(Z_{>0},+)$$(\mathbb Z_{>0},+) is a semigroup半群はんぐん because addition is associative. It is not a monoidモノイド, because the identity element 0 is not in $$Z_{>0}$$\mathbb Z_{>0}.

$$(Z_{\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0},+)$$(\mathbb Z_{\ge0},+) is a monoidモノイド because it has 0 as its identity element単位元たんいげん. It is not a group群ぐん, because the additive inverse $$-1$$-1 of 1 is not in $$Z_{\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0}$$\mathbb Z_{\ge0}.

$$(\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z,+) is a group群ぐん because it has 0 and all additive inverses. Thus each newly required condition has real content.