部分群ぶぶんぐんsubgroupと生成せいせいgeneration

群ぐんの中なかに、群ぐんとしての構造こうぞうを保たもった小ちいさな部分ぶぶんを見みつけたいことがある。そのような部分集合ぶぶんしゅうごうが部分群ぶぶんぐんである。

部分群ぶぶんぐんは、単たんなる部分集合ぶぶんしゅうごうではない。元げんどうしを演算えんざんしても中なかに残のこり、逆元ぎゃくげんも中なかに残のこる必要ひつようがある。

subgroups部分群ぶぶんぐん and generation生成せいせい

Inside a group群ぐん, we often want to find a smaller part that still preserves the structure of a group. Such a subset is a subgroup部分群ぶぶんぐん.

A subgroup部分群ぶぶんぐん is not merely a subset. When elements are operated on, the result must remain inside, and inverse elements must also remain inside.

1部分群ぶぶんぐんの定義ていぎ

群ぐん $$G$$G の部分集合ぶぶんしゅうごう $$H\subseteq G$$H\subseteq G が部分群ぶぶんぐんであるとは、$$H$$H が $$G$$G の演算えんざんを受うけ継ついで群ぐんになることである。

実用上じつようじょうは、次つぎの条件じょうけんで判定はんていできる。

かつ、任意にんいの $$a,b\in H$$a,b\in H について

が成なり立たつなら、$$H$$H は部分群ぶぶんぐんである。

この判定はんていでは割わり算ざんをしているように見みえるが、群ぐんの中なかで逆元ぎゃくげん $$b^{-1}$$b^{-1} が存在そんざいすることを使つかっている。したがって、$$b$$b が群ぐんの元げんであることと、逆元ぎゃくげんが群ぐんの中なかにあることが前提ぜんていである。

2Definition of a subgroup部分群ぶぶんぐん

A subset $$H\subseteq G$$H\subseteq G of a group $$G$$G is a subgroup部分群ぶぶんぐん if $$H$$H becomes a group using the operation inherited from $$G$$G.

In practice, it can be tested by the following criterion.

and for all $$a,b\in H$$a,b\in H,

If these hold, then $$H$$H is a subgroup部分群ぶぶんぐん.

This criterion may look like division, but it uses the fact that the inverse $$b^{-1}$$b^{-1} exists inside the group. Therefore it is assumed that $$b$$b is an element of the group and that its inverse lies in the group.

3具体例ぐたいれい

$$(\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z,+) の中なかで、偶数ぐうすう全体ぜんたい

は部分群ぶぶんぐんである。0 を含ふくみ、偶数ぐうすうどうしの差さは偶数ぐうすうだからである。

一方いっぽう、自然数全体しぜんすうぜんたい $$\mathbb{N}$$\mathbb N は $$(\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z,+) の部分群ぶぶんぐんではない。たとえば 3 は含ふくむが、逆元ぎゃくげん $$-3$$-3 を含ふくまない。

4Concrete examples

Inside $$(\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z,+), the set of all even integers

is a subgroup部分群ぶぶんぐん. It contains 0, and the difference of two even integers is even.

On the other hand, the set of natural numbers $$\mathbb{N}$$\mathbb N is not a subgroup部分群ぶぶんぐん of $$(\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z,+). For example, it contains 3 but does not contain the inverse $$-3$$-3.

5生成元せいせいげん

群ぐん $$G$$G の部分集合ぶぶんしゅうごう $$A$$A から、$$A$$A の元げんとその逆元ぎゃくげんを有限回ゆうげんかい演算えんざんして得えられる元げん全体ぜんたいを、$$A$$A が生成せいせいする部分群ぶぶんぐんという。

と書かく。

一ひとつの元げん $$a$$a で生成せいせいされる群ぐん

を巡回群じゅんかいぐんcyclic groupという。

6Generators

Given a subset $$A$$A of a group $$G$$G, the set of all elements obtained by applying the operation finitely many times to elements of $$A$$A and their inverses is the subgroup部分群ぶぶんぐん generated生成せいせい by $$A$$A.

It is written

A group generated by one element $$a$$a,

is called a cyclic group巡回群じゅんかいぐん.

7例れい：剰余類じょうよるいの巡回群じゅんかいぐん

$$(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z/6\mathbb Z,+) では、$$\left[1\right]$$[1] は全体ぜんたいを生成せいせいする。

が $$\left[1\right]$$[1] の繰くり返かえしで得えられるからである。一方いっぽう、$$\left[2\right]$$[2] が生成せいせいする部分群ぶぶんぐんは

である。

8Example: cyclic groups of residue classes

In $$(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z/6\mathbb Z,+), the element $$\left[1\right]$$[1] generates the whole group.

are obtained by repeatedly adding $$\left[1\right]$$[1]. On the other hand, the subgroup部分群ぶぶんぐん generated by $$\left[2\right]$$[2] is

9何なにが保存ほぞんされるか

部分群ぶぶんぐんでは、元げんの群ぐんの演算えんざん、単位元たんいげん、逆元ぎゃくげんがそのまま保たもたれる。変かわるのは、使つかえる元げんの範囲はんいである。生成せいせいでは、少数しょうすうの元げんから閉包性へいほうせいと逆元ぎゃくげんを使つかって、必要最小限ひつようさいしょうげんの部分群ぶぶんぐんを作つくる。

10What is preserved

In a subgroup部分群ぶぶんぐん, the operation, identity element単位元たんいげん, and inverses of the group are preserved as they are. What changes is the range of elements available. In generation, starting from a small number of specified elements, closure閉包性へいほうせい and inverses are used to build the smallest necessary subgroup部分群ぶぶんぐん.

11証明しょうめい補足ほそく：部分群判定法ぶぶんぐんはんていほうと生成部分群せいせいぶぶんぐんの最小性さいしょうせい

$G$G を群ぐん、$H\subseteq G$H\subseteq G を空からでない部分集合ぶぶんしゅうごうとする。もし

が成なり立たつなら、$H$H は部分群ぶぶんぐんsubgroup である。

証明しょうめいする。$H$H は空からでないので、ある $h\in H$h\in H が存在そんざいする。すると $h{h}^{-1}=e\in H$hh^{-1}=e\in H である。つぎに $x\in H$x\in H とする。$e\in H$e\in H なので、条件じょうけんを $e,x$e,x に使つかうと $e{x}^{-1}=x^{-1}\in H$ex^{-1}=x^{-1}\in H である。最後さいごに $x,y\in H$x,y\in H とする。いま $y^{-1}\in H$y^{-1}\in H が分わかっているので、条件じょうけんを $x,y^{-1}$x,y^{-1} に使つかうと $x(y^{-1}{)}^{-1}=xy\in H$x(y^{-1})^{-1}=xy\in H である。よって $H$H は単位元たんいげん、逆元ぎゃくげん、積せきについて閉とじている。

生成部分群せいせいぶぶんぐん $⟨S⟩$\langle S\rangle は、$S$S を含ふくむすべての部分群ぶぶんぐんの共通部分きょうつうぶぶんとして定義ていぎできる。

この共通部分きょうつうぶぶんは部分群ぶぶんぐんである。なぜなら、単位元たんいげんはすべての $H$H に含ふくまれ、積せきと逆元ぎゃくげんも各かく $H$H の中なかで閉とじているからである。また、どの $H$H も $S$S を含ふくむので、共通部分きょうつうぶぶんも $S$S を含ふくむ。さらに $S$S を含ふくむ任意にんいの部分群ぶぶんぐん $K$K は、交まじわりを取とる対象たいしょうの一ひとつなので、$⟨S⟩\subseteq K$\langle S\rangle\subseteq K である。よって $⟨S⟩$\langle S\rangle は $S$S を含ふくむ最小さいしょうの部分群ぶぶんぐんである。

12Proof supplement: subgroup部分群ぶぶんぐん criterion and minimality of generated subgroups部分群ぶぶんぐん

Let $$G$$G be a group and let $$H\subseteq G$$H\subseteq G be a nonempty subset. If

holds, then $$H$$H is a subgroup部分群ぶぶんぐん.

Proof. Since $$H$$H is nonempty, there exists $$h\in H$$h\in H. Then $$h{h}^{-1}=e\in H$$hh^{-1}=e\in H. Next let $$x\in H$$x\in H. Since $$e\in H$$e\in H, applying the condition to $$e,x$$e,x gives $$e{x}^{-1}=x^{-1}\in H$$ex^{-1}=x^{-1}\in H. Finally, if $$x,y\in H$$x,y\in H, we already know $$y^{-1}\in H$$y^{-1}\in H, so applying the condition to $$x,y^{-1}$$x,y^{-1} gives $$x(y^{-1}{)}^{-1}=xy\in H$$x(y^{-1})^{-1}=xy\in H. Thus $$H$$H contains the identity, inverses, and products.

The generated subgroup部分群ぶぶんぐん $$⟨S⟩$$\langle S\rangle can be defined as the intersection of all subgroups部分群ぶぶんぐん that contain $$S$$S:

This intersection is a subgroup部分群ぶぶんぐん, because the identity lies in every such $$H$$H and products and inverses are closed in each $$H$$H. Also, since every such $$H$$H contains $$S$$S, the intersection contains $$S$$S. Moreover, any subgroup部分群ぶぶんぐん $$K$$K containing $$S$$S is one of the subgroups部分群ぶぶんぐん being intersected, so $$⟨S⟩\subseteq K$$\langle S\rangle\subseteq K. Therefore $$⟨S⟩$$\langle S\rangle is the smallest subgroup部分群ぶぶんぐん containing $$S$$S.

13演習えんしゅうリンク

14Exercise link

15まとめ

部分群ぶぶんぐんは、群ぐんの構造こうぞうを保たもったまま元げんを制限せいげんしたものである。生成せいせいは、指定していした元げんから閉とじた最小さいしょうの部分群ぶぶんぐんを作つくる操作そうさであり、巡回群じゅんかいぐんは一ひとつの元げんで生成せいせいされる群ぐんである。

16Summary

A subgroup部分群ぶぶんぐん is obtained by restricting the elements while preserving the group structure. Generation生成せいせい is the operation of building the smallest closed subgroup部分群ぶぶんぐん from specified elements, and a cyclic group巡回群じゅんかいぐん is a group generated by one element.

17計算けいさん補足ほそく：$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb Z/n\mathbb Z で $$\left[k\right]$$[k] が生成せいせいする部分群ぶぶんぐん

加法群かほうぐん $$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z/n\mathbb Z,+) で $$\left[k\right]$$[k] が生成せいせいする部分群ぶぶんぐんの元げんは

である。この列れつが初はじめて $$\left[0\right]$$[0] に戻もどる正せいの整数せいすう $$m$$m は、$$n\mid mk$$n\mid mk を満みたす最小さいしょうの $$m$$m である。したがって $$d=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(n,k)$$d=\gcd(n,k) とすると

である。

たとえば $$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$$\mathbb Z/12\mathbb Z で $$\left[8\right]$$[8] を考かんがえると、$$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(12,8)=4$$\gcd(12,8)=4 なので生成せいせいされる部分群ぶぶんぐんの位数いすうは $$12/4=3$$12/4=3 である。実際じっさい、

である。

18Calculation supplement: the subgroup部分群ぶぶんぐん generated by $$\left[k\right]$$[k] in $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb Z/n\mathbb Z

In the additive group $$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z/n\mathbb Z,+), the elements of the subgroup部分群ぶぶんぐん generated by $$\left[k\right]$$[k] are

The first positive integer $$m$$m for which this sequence returns to $$\left[0\right]$$[0] is the smallest $$m$$m satisfying $$n\mid mk$$n\mid mk. Therefore, if $$d=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(n,k)$$d=\gcd(n,k), then

For example, in $$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$$\mathbb Z/12\mathbb Z, consider $$\left[8\right]$$[8]. Since $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(12,8)=4$$\gcd(12,8)=4, the generated subgroup部分群ぶぶんぐん has order位数いすう $$12/4=3$$12/4=3. Indeed,