剰余類じょうよるいcosetとラグランジュの定理ていり

整数せいすうの剰余類じょうよるいは、整数せいすうを余あまりで分類ぶんるいするものだった。群ぐんでも、部分群ぶぶんぐんを基準きじゅんにして元げんを分類ぶんるいできる。その分類ぶんるいが群ぐんの剰余類じょうよるいである。

cosets剰余類じょうよるい and Lagrange's theorem

Residue classes of integers classify integers by remainders. In a group群ぐん, elements can also be classified using a subgroup部分群ぶぶんぐん as the standard. This classification is the group-theoretic notion of a coset剰余類じょうよるい.

1左剰余類ひだりじょうよるい

群ぐん $$G$$G の部分群ぶぶんぐん $$H$$H と元げん $$g\in G$$g\in G に対たいして、

を $$H$$H の左剰余類ひだりじょうよるいleft cosetという。

右みぎから掛かける

を右剰余類みぎじょうよるいright cosetという。

群ぐんが可換かかんなら左剰余類ひだりじょうよるいと右剰余類みぎじょうよるいは一致いっちする。しかし一般いっぱんの群ぐんでは一致いっちするとは限かぎらない。

2Left cosets剰余類じょうよるい

For a subgroup部分群ぶぶんぐん $$H$$H of a group $$G$$G and an element $$g\in G$$g\in G,

is called the left coset左剰余類ひだりじょうよるい of $$H$$H by $$g$$g.

The set obtained by multiplying from the right,

is called the right coset右剰余類みぎじょうよるい.

If the group is commutative, left cosets剰余類じょうよるい and right cosets剰余類じょうよるい coincide. In a general group, however, they need not coincide.

3剰余類じょうよるいは群ぐんを分割ぶんかつする

左剰余類ひだりじょうよるいどうしは、等ひとしいか交まじわらないかのどちらかである。また、全すべての左剰余類ひだりじょうよるいを集あつめると $$G$$G 全体ぜんたいを覆おおう。

これは、剰余類じょうよるいが $$G$$G を同おなじ大おおきさの箱はこに分わけることを意味いみする。

4Cosets partition a group

Any two left cosets剰余類じょうよるい are either equal or disjoint. Also, the collection of all left cosets剰余類じょうよるい covers all of $$G$$G.

This means that cosets剰余類じょうよるい divide $$G$$G into boxes of the same size.

5ラグランジュの定理ていり

有限群ゆうげんぐん $$G$$G と部分群ぶぶんぐん $$H$$H に対たいして、

が成なり立たつ。ここで $$[G:H]$$[G:H] は $$H$$H の左剰余類ひだりじょうよるいの個数こすうである。

したがって、

である。これがラグランジュの定理ていりLagrange's theoremである。

6Lagrange's theorem

For a finite group $$G$$G and a subgroup部分群ぶぶんぐん $$H$$H,

holds. Here $$[G:H]$$[G:H] is the number of left cosets剰余類じょうよるい of $$H$$H.

Therefore,

This is Lagrange's theoremラグランジュの定理ていり.

7具体例ぐたいれい

$$G=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$$G=\mathbb Z/6\mathbb Z、$$H=\left\{\right[0],[3\left]\right\}$$H=\{[0],[3]\} とする。$$H$$H の位数いすうは 2 である。剰余類じょうよるいは

の三みっつである。したがって $$\left|G\right|=6=3·2$$|G|=6=3\cdot2 である。

8Concrete example

Let $$G=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$$G=\mathbb Z/6\mathbb Z and $$H=\left\{\right[0],[3\left]\right\}$$H=\{[0],[3]\}. The order位数いすう of $$H$$H is 2. The cosets剰余類じょうよるい are

There are three such cosets剰余類じょうよるい, so $$\left|G\right|=6=3·2$$|G|=6=3\cdot2.

9何なにが保存ほぞんされるか

剰余類じょうよるいに分わけると、個々ここの元げんではなく、部分群ぶぶんぐんだけずれたものを同おなじ箱はことして見みる。部分群ぶぶんぐんの大おおきさは各かく箱はこで保存ほぞんされる。これにより、有限群ゆうげんぐんの位数いすうが部分群ぶぶんぐんの位数いすうで割わり切きれることが分わかる。

10What is preserved

When a group is divided into cosets剰余類じょうよるい, we no longer look at individual elements, but at boxes consisting of elements shifted by a subgroup部分群ぶぶんぐん. The size of the subgroup部分群ぶぶんぐん is preserved in every box. This shows that, in a finite group, the order位数いすう of a subgroup部分群ぶぶんぐん divides the order位数いすう of the group.

11商群しょうぐんへの注意ちゅうい

剰余類じょうよるいの集合しゅうごうはいつでも作つくれる。しかし、剰余類じょうよるいどうしの積せきで群ぐんを作つくれるとは限かぎらない。商群しょうぐんを作つくるには、部分群ぶぶんぐんが正規部分群せいきぶぶんぐんである必要ひつようがある。

12Warning about quotient groups商群しょうぐん

The set of cosets剰余類じょうよるい can always be formed. However, it is not always possible to make that set into a group by multiplying cosets剰余類じょうよるい. To build a quotient group商群しょうぐん, the subgroup部分群ぶぶんぐん must be a normal subgroup正規部分群せいきぶぶんぐん.

13証明しょうめい補足ほそく：剰余類じょうよるいの分割ぶんかつとラグランジュの定理ていり

$H\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}G$H\le G とする。左ひだり剰余類じょうよるい $aH$aH と $bH$bH は、交まじわらないか、完全かんぜんに一致いっちする。

証明しょうめいする。$aH\cap bH\ne \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$aH\cap bH\ne\varnothing とし、$x\in aH\cap bH$x\in aH\cap bH を取とる。すると $x=a{h}_1=b{h}_2$x=ah_1=bh_2 となる $h_1,h_2\in H$h_1,h_2\in H が存在そんざいする。ここから

である。任意にんいの $ah\in aH$ah\in aH について、

であり、$\left(b^{-1}a\right)h\in H$(b^{-1}a)h\in H だから $ah\in bH$ah\in bH である。よって $aH\subseteq bH$aH\subseteq bH である。同おなじ議論ぎろんで $bH\subseteq aH$bH\subseteq aH も従したがうので $aH=bH$aH=bH である。

また、写像しゃぞう

は全単射ぜんたんしゃである。全射ぜんしゃは $aH$aH の定義ていぎから従したがう。単射たんしゃは、$a{h}_1=a{h}_2$ah_1=ah_2 なら左ひだりから $a^{-1}$a^{-1} を掛かけて $h_1=h_2$h_1=h_2 となることから従したがう。ここでは $a^{-1}$a^{-1} が存在そんざいすること、つまり $G$G が群ぐんであることを使つかっている。

したがって、有限群ゆうげんぐん $G$G では、$G$G は同おなじ大おおきさの左ひだり剰余類じょうよるいに分割ぶんかつされる。左ひだり剰余類じょうよるいの個数こすうを $[G:H]$[G:H] とすれば

である。これがラグランジュの定理ていりLagrange's theorem である。

14Proof supplement: coset剰余類じょうよるい partitions and Lagrange's theorem

Let $$H\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}G$$H\le G. Two left cosets剰余類じょうよるい $$aH$$aH and $$bH$$bH are either disjoint or exactly equal.

Proof. Suppose $$aH\cap bH\ne \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$$aH\cap bH\ne\varnothing, and take $$x\in aH\cap bH$$x\in aH\cap bH. Then there exist $$h_1,h_2\in H$$h_1,h_2\in H such that $$x=a{h}_1=b{h}_2$$x=ah_1=bh_2. From this,

For any $$ah\in aH$$ah\in aH,

and since $$\left(b^{-1}a\right)h\in H$$(b^{-1}a)h\in H, we have $$ah\in bH$$ah\in bH. Thus $$aH\subseteq bH$$aH\subseteq bH. The same argument gives $$bH\subseteq aH$$bH\subseteq aH, so $$aH=bH$$aH=bH.

Also, the map

is a bijection. Surjectivity follows from the definition定義ていぎ of $$aH$$aH. Injectivity follows because if $$a{h}_1=a{h}_2$$ah_1=ah_2, then multiplying by $$a^{-1}$$a^{-1} from the left gives $$h_1=h_2$$h_1=h_2. This uses the existence of $$a^{-1}$$a^{-1}, that is, it uses that $$G$$G is a group.

Therefore, in a finite group $$G$$G, the group is partitioned into left cosets剰余類じょうよるい of equal size. If the number of left cosets剰余類じょうよるい is $$[G:H]$$[G:H], then

This is Lagrange's theoremラグランジュの定理ていり.

15演習えんしゅうリンク

16Exercise link

17まとめ

群ぐんの剰余類じょうよるいは、部分群ぶぶんぐんを基準きじゅんに群ぐんを同おなじ大おおきさの箱はこへ分わける方法ほうほうである。有限群ゆうげんぐんでは、部分群ぶぶんぐんの位数いすうは群ぐんの位数いすうを割わり切きる。商群しょうぐんを作つくるには、さらに正規性せいきせいが必要ひつようである。

18Summary

A group coset剰余類じょうよるい is a way of dividing a group into equally sized boxes using a subgroup部分群ぶぶんぐん as the standard. In a finite group, the order位数いすう of a subgroup部分群ぶぶんぐん divides the order位数いすう of the group. To construct a quotient group商群しょうぐん, normality is additionally required.

19系けい：元げんの位数いすうは群ぐんの位数いすうを割わり切きる

有限群ゆうげんぐん $$G$$G の元げん $$g$$g が生成せいせいする部分群ぶぶんぐん $$⟨g⟩$$\langle g\rangle を考かんがえる。ラグランジュの定理ていりより、

である。$$|⟨g⟩|$$|\langle g\rangle| は $$g$$g の位数いすうなので、有限群ゆうげんぐんでは各かく元げんの位数いすうが群ぐんの位数いすうを割わり切きる。

特とくに、$$\left|G\right|=p$$|G|=p が素数そすうなら、単位元たんいげんでない元げん $$g$$g の位数いすうは 1 ではなく、$$p$$p を割わり切きるので $$p$$p である。したがって $$G=⟨g⟩$$G=\langle g\rangle であり、位数いすうが素数そすうの群ぐんは巡回群じゅんかいぐんである。

20Corollary: the order位数いすう of an element divides the order位数いすう of the group

Let $$g$$g be an element of a finite group有限群ゆうげんぐん $$G$$G, and consider the subgroup部分群ぶぶんぐん $$⟨g⟩$$\langle g\rangle generated by $$g$$g. By Lagrange's theorem,

The number $$|⟨g⟩|$$|\langle g\rangle| is the order位数いすう of $$g$$g, so in a finite group, the order位数いすう of every element divides the order位数いすう of the group.

In particular, if $$\left|G\right|=p$$|G|=p is prime and $$g$$g is not the identity, then the order位数いすう of $$g$$g is not 1 and must divide $$p$$p, so it is $$p$$p. Hence $$G=⟨g⟩$$G=\langle g\rangle, and every group of prime order位数いすう is cyclic.