正規部分群せいきぶぶんぐんnormal subgroupと商群しょうぐんquotient group

剰余類じょうよるいの集合しゅうごうを作つくるだけなら、任意にんいの部分群ぶぶんぐんでよい。しかし、剰余類じょうよるいどうしを掛かけて再ふたたび剰余類じょうよるいにしたいなら、代表元だいひょうげんの選えらび方かたに依存いぞんしない必要ひつようがある。この条件じょうけんを満みたす部分群ぶぶんぐんが正規部分群せいきぶぶんぐんである。

normal subgroups正規部分群せいきぶぶんぐん and quotient groups商群しょうぐん

To merely form the set of cosets剰余類じょうよるい, any subgroup部分群ぶぶんぐん is enough. But if we want to multiply cosets剰余類じょうよるい and obtain cosets剰余類じょうよるい again, the result must not depend on the choice of representatives. A subgroup部分群ぶぶんぐん satisfying this condition is a normal subgroup正規部分群せいきぶぶんぐん.

1正規部分群せいきぶぶんぐんの定義ていぎ

部分群ぶぶんぐん $$N\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}G$$N\le G が正規部分群せいきぶぶんぐんであるとは、任意にんいの $$g\in G$$g\in G について

が成なり立たつことである。このとき

と書かく。

同どう値あたいな条件じょうけんとして、任意にんいの $$g\in G$$g\in G、$$n\in N$$n\in N について

が成なり立たつことでもよい。

1Definition of a normal subgroup正規部分群せいきぶぶんぐん

A subgroup部分群ぶぶんぐん $$N\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}G$$N\le G is a normal subgroup正規部分群せいきぶぶんぐん if for every $$g\in G$$g\in G,

holds. In this case we write

An equivalent condition is that for every $$g\in G$$g\in G and $$n\in N$$n\in N,

holds.

2何故なぜ正規性せいきせいが必要ひつようか

剰余類じょうよるいの積せきを

で定義ていぎしたい。この定義ていぎが代表元だいひょうげんによらないためには、$$g$$g や $$h$$h を同おなじ剰余類じょうよるいの別べつの元げんに取とり替かえても、結果けっかが同おなじ剰余類じょうよるいになる必要ひつようがある。

正規性せいきせいは、この well-definedwell-defined 性せいを保証ほしょうする条件じょうけんである。

2Why normality is necessary

We want to define the product of cosets剰余類じょうよるい by

For this definition定義ていぎ to be independent of representatives, replacing $$g$$g or $$h$$h by another element in the same coset剰余類じょうよるい must produce the same resulting coset剰余類じょうよるい.

Normality is the condition that guarantees this well-definedness.

3商群しょうぐん

$$N\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("trianglelefteq")")]}G$$N\trianglelefteq G のとき、剰余類じょうよるい全体ぜんたい

は、積せき

によって群ぐんになる。これを商群しょうぐんという。

商群しょうぐんでは、$$N$$N に属ぞくする違ちがいを 0 のように潰つぶして見みる。つまり、$$N$$N の中なかで動うごく差さを無視むしして、残のこった構造こうぞうだけを調しらべる。

3Quotient groups

When $$N\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("trianglelefteq")")]}G$$N\trianglelefteq G, the set of all cosets剰余類じょうよるい

becomes a group群ぐん under the product

This group is called a quotient group商群しょうぐん.

In a quotient group商群しょうぐん, differences lying inside $$N$$N are collapsed as if they were 0. In other words, we ignore movement inside $$N$$N and study the remaining structure.

4具体例ぐたいれい：整数せいすうの商群しょうぐん

$$(\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z,+) において、$$n\mathbb{Z}$$n\mathbb Z は正規部分群せいきぶぶんぐんである。何故なぜなら $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z は可換群かかんぐんだから、全すべての部分群ぶぶんぐんが正規せいきである。

商群しょうぐん

は、整数せいすうを $$n$$n で割わった余あまりで分類ぶんるいした群ぐんである。

4Concrete example: quotient groups商群しょうぐん of integers

In $$(\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z,+), the subgroup部分群ぶぶんぐん $$n\mathbb{Z}$$n\mathbb Z is normal because $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z is an abelian group, and every subgroup部分群ぶぶんぐん of an abelian group is normal.

The quotient group商群しょうぐん

is the group obtained by classifying integers by their remainders modulo $$n$$n.

5何なにを変かえて何なにを保存ほぞんするか

商群しょうぐんでは、$$N$$N の中なかの違ちがいを見みない。変かわるのは元げんの粒度りゅうどであり、個々ここの元げんではなく剰余類じょうよるいを元げんとして扱あつかう。一方いっぽうで、群ぐんの演算えんざん構造こうぞうは well-definedwell-defined な形かたちで保存ほぞんされる。

5What changes and what is preserved

In a quotient group商群しょうぐん, differences inside $$N$$N are no longer distinguished. What changes is the granularity of elements: the elements are cosets剰余類じょうよるい rather than individual elements. What is preserved is the group operation structure in a well-defined form.

6証明しょうめい補足ほそく：商群しょうぐんの演算えんざんが well-defined になる条件じょうけん

$N\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}G$N\le G とする。剰余類じょうよるいどうしの積せきを

で定義ていぎしたい。この定義ていぎが代表元だいひょうげんの選えらび方かたに依存いぞんしないためには、$N$N が正規部分群せいきぶぶんぐんnormal subgroup であることが必要ひつようである。

まず $N$N が正規せいきだとする。$aN=a^{\prime }N$aN=a'N、$bN=b^{\prime }N$bN=b'N とする。このとき $a^{\prime }=a{n}_1$a'=an_1、$b^{\prime }=b{n}_2$b'=bn_2 となる $n_1,n_2\in N$n_1,n_2\in N が存在そんざいする。すると

である。$N$N は正規せいきなので $b^{-1}{n}_{1}b\in N$b^{-1}n_1b\in N であり、したがって $\left(b^{-1}{n}_{1}b\right)n_2\in N$(b^{-1}n_1b)n_2\in N である。よって $a^{\prime }{b}^{\prime }N=abN$a'b'N=abN である。つまり積せきは代表元だいひょうげんに依存いぞんしない。

逆ぎゃくに、この積せきが常つねに well-defined だとする。任意にんいの $g\in G$g\in G と $n\in N$n\in N を取とる。左ひだり剰余類じょうよるいとして $\left(gn\right)N=gN$(gn)N=gN なので、第一だいいち因子いんしの代表元だいひょうげんを $g$g から $gn$gn に替かえても、$g^{-1}N$g^{-1}N との積せきは同おなじでなければならない。したがって

が同おなじ剰余類じょうよるいになる。よって $gn{g}^{-1}N=N$gng^{-1}N=N、すなわち $gn{g}^{-1}\in N$gng^{-1}\in N である。任意にんいの $g,n$g,n について成なり立たつので、$N$N は正規せいきである。

つまり、正規性せいきせいは「剰余類じょうよるいを要素ようそとして掛かけても矛盾むじゅんしない」ことを保証ほしょうする条件じょうけんである。

6Proof supplement: the condition for quotient-group operations to be well-defined

Let $$N\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}G$$N\le G. We want to define multiplication of cosets剰余類じょうよるい by

For this definition定義ていぎ to be independent of the chosen representatives, $$N$$N must be a normal subgroup正規部分群せいきぶぶんぐん.

First suppose $$N$$N is normal. Let $$aN=a^{\prime }N$$aN=a'N and $$bN=b^{\prime }N$$bN=b'N. Then there exist $$n_1,n_2\in N$$n_1,n_2\in N such that $$a^{\prime }=a{n}_1$$a'=an_1 and $$b^{\prime }=b{n}_2$$b'=bn_2. Hence

Since $$N$$N is normal, $$b^{-1}{n}_{1}b\in N$$b^{-1}n_1b\in N, and therefore $$\left(b^{-1}{n}_{1}b\right)n_2\in N$$(b^{-1}n_1b)n_2\in N. Thus $$a^{\prime }{b}^{\prime }N=abN$$a'b'N=abN. The product is independent of representatives.

Conversely, suppose this product is always well-defined. Take any $$g\in G$$g\in G and $$n\in N$$n\in N. As left cosets剰余類じょうよるい, $$\left(gn\right)N=gN$$(gn)N=gN, so changing the representative of the first factor from $$g$$g to $$gn$$gn must give the same product with $$g^{-1}N$$g^{-1}N. Therefore

must be the same coset剰余類じょうよるい. Hence $$gn{g}^{-1}N=N$$gng^{-1}N=N, so $$gn{g}^{-1}\in N$$gng^{-1}\in N. Since this holds for every $$g,n$$g,n, the subgroup $$N$$N is normal.

Thus normality is precisely the condition that makes it consistent to multiply cosets剰余類じょうよるい as elements.

7演習えんしゅうリンク

7Exercise link

8まとめ

正規部分群せいきぶぶんぐんは、剰余類じょうよるいの集合しゅうごうに群ぐん構造こうぞうを入いれるための条件じょうけんである。商群しょうぐんは、正規部分群せいきぶぶんぐんの中なかの違ちがいを潰つぶして残のこる構造こうぞうを見みる方法ほうほうである。

8Summary

A normal subgroup正規部分群せいきぶぶんぐん is the condition needed to put a group structure on the set of cosets剰余類じょうよるい. A quotient group商群しょうぐん is the structure that remains after collapsing the differences inside a normal subgroup正規部分群せいきぶぶんぐん.

9反例はんれい：すべての部分群ぶぶんぐんが正規せいきとは限かぎらない

対称群たいしょうぐん $$S_3$$S_3 で、$$H=\{e,(12\left)\right\}$$H=\{e,(12)\} を考かんがえる。これは部分群ぶぶんぐんである。しかし $$g=\left(13\right)$$g=(13) とすると、

であり、

である。ここで $$\left(13\right)\left(12\right)$$(13)(12) と $$\left(12\right)\left(13\right)$$(12)(13) は異ことなる置換ちかんである。したがって $$gH\ne Hg$$gH\ne Hg であり、$$H$$H は正規部分群せいきぶぶんぐんではない。

この例れいでは剰余類じょうよるいの集合しゅうごうは作つくれるが、剰余類じょうよるいどうしの積せきを代表元だいひょうげんによらず定義ていぎできない。つまり、非可換ひかかんな群ぐんでは正規性せいきせいの確認かくにんが本質的ほんしつてきである。

9Counterexample: not every subgroup部分群ぶぶんぐん is normal

In the symmetric group $$S_3$$S_3, consider $$H=\{e,(12\left)\right\}$$H=\{e,(12)\}. This is a subgroup部分群ぶぶんぐん. However, if $$g=\left(13\right)$$g=(13), then

while

Here $$\left(13\right)\left(12\right)$$(13)(12) and $$\left(12\right)\left(13\right)$$(12)(13) are different permutations. Therefore $$gH\ne Hg$$gH\ne Hg, so $$H$$H is not a normal subgroup正規部分群せいきぶぶんぐん.

In this example, the set of cosets剰余類じょうよるい can be formed, but multiplication of cosets剰余類じょうよるい cannot be defined independently of representatives. Thus in noncommutative groups, checking normality is essential.