群準同型ぐんじゅんどうけいgroup homomorphismと同型どうけいisomorphism

date2026-06-06description群[準[同型/どうけい]/じゅんどうけい]を、[演算/えんざん]を保つ[写[像/ぞう]/しゃぞう]として定義し、[核/かく]・[像/ぞう]・[同型/どうけい]が何を[保存/ほぞん]するかを[説明/せつめい]する。prerequisites群の基[本/ほん] / [写[像/ぞう]/しゃぞう]の基[本/ほん]type講義content_typelecturestatusactive

mathabstract-algebragroup-theorylecture

群ぐんどうしを比くらべるとき、元げんの名前なまえが一致いっちする必要ひつようはない。重要じゅうようなのは、演算えんざんの構造こうぞうが保たもたれることである。この「演算えんざんを保たもつ写像しゃぞう」が群準同型ぐんじゅんどうけいである。

group homomorphisms群準同型ぐんじゅんどうけい and isomorphisms同型どうけい

When comparing groups群ぐん, the names of the elements do not need to match. What matters is that the operation structure is preserved. A map that preserves operations in this way is a group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい.

1群準同型ぐんじゅんどうけい

群ぐん $G, H$ に対たいして、写像しゃぞう $φ : G \to H$ が群準同型ぐんじゅんどうけいであるとは、任意にんいの $a, b \in G$ について

φ (a b) = φ (a) φ (b)

が成なり立たつことである。

ここで左辺さへんの積せきは $G$ の演算えんざんであり、右辺うへんの積せきは $H$ の演算えんざんである。記号きごうが同おなじでも、どの群ぐんの演算えんざんかを区別くべつする必要ひつようがある。

2Group homomorphisms準同型じゅんどうけい

For groups $G, H$ , a map $φ : G \to H$ is a group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい if for all $a, b \in G$ ,

φ (a b) = φ (a) φ (b)

holds.

Here the product on the left is the operation in $G$ , and the product on the right is the operation in $H$ . Even if the same symbol is used, it is necessary to distinguish which group's operation is being used.

3準同型じゅんどうけいが自動的じどうてきに保たもつもの

群準同型ぐんじゅんどうけい $φ : G \to H$ は単位元たんいげんを単位元たんいげんへ送おくる。

φ (e_{G}) = e_{H}

また、逆元ぎゃくげんを逆元ぎゃくげんへ送おくる。

φ (a^{- 1}) = φ (a)^{- 1}

これらは定義ていぎに直接ちょくせつ書かかれていないが、演算えんざんを保たもつことから導みちびかれる。

4What a homomorphism準同型じゅんどうけい automatically preserves

A group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい $φ : G \to H$ sends the identity element単位元たんいげん to the identity element単位元たんいげん:

φ (e_{G}) = e_{H}

It also sends inverses to inverses:

φ (a^{- 1}) = φ (a)^{- 1}

These facts are not written directly in the definition定義ていぎ, but they follow from preservation of the operation.

5核かくと像ぞう

群準同型ぐんじゅんどうけい $φ : G \to H$ の核かくkernelを

\ker φ = {g \in G ∣ φ (g) = e_{H}}

で定義ていぎする。核かくは、写像しゃぞうによって単位元たんいげんに潰つぶれる部分ぶぶんである。

像ぞうimageは

Im φ = {φ (g) ∣ g \in G}

である。像ぞうは、実際じっさいに到達とうたつする元げん全体ぜんたいである。

6Kernel and image像ぞう

The kernel核かく of a group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい $φ : G \to H$ is defined by

\ker φ = {g \in G ∣ φ (g) = e_{H}}

The kernel核かく is the part collapsed to the identity element単位元たんいげん by the map.

The image像ぞう is

Im φ = {φ (g) ∣ g \in G}

It is the set of all elements actually reached by the map.

7同型どうけい

群準同型ぐんじゅんどうけい $φ : G \to H$ が全単射ぜんたんしゃであるとき、群ぐん同型どうけいという。このとき $G$ と $H$ は群ぐんとして同おなじ構造こうぞうを持もつ。

G ≅ H

と書かく。

同型どうけいでは、元げんの名前なまえは変かわる。しかし、演算表えんざんひょう、単位元たんいげん、逆元ぎゃくげん、部分群ぶぶんぐんの構造こうぞう、位数いすうなどの群論ぐんろん的てき性質せいしつは保存ほぞんされる。

8Isomorphisms

A group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい $φ : G \to H$ is a group isomorphism同型どうけい when it is bijective. In that case, $G$ and $H$ have the same structure as groups.

G ≅ H

In an isomorphism同型どうけい, the names of elements may change. However, the operation table, identity element単位元たんいげん, inverses, subgroup部分群ぶぶんぐん structure, order位数いすう, and other group-theoretic properties are preserved.

9具体例ぐたいれい

$φ : Z \to Z / n Z$ を

φ (k) = [k]

で定さだめる。これは群準同型ぐんじゅんどうけいである。

φ (a + b) = [a + b] = [a] + [b]

だからである。この写像しゃぞうの核かくは

\ker φ = n Z

である。

10Concrete example

Define $φ : Z \to Z / n Z$ by

φ (k) = [k]

This is a group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい because

φ (a + b) = [a + b] = [a] + [b]

The kernel核かく of this map is

\ker φ = n Z

11証明しょうめい補足ほそく：準同型じゅんどうけいが保存ほぞんするもの

$φ : G \to H$ を群準同型ぐんじゅんどうけいgroup homomorphism とする。このとき

φ (e_{G}) = e_{H}, φ (g^{- 1}) = φ (g)^{- 1}

である。

まず $φ (e_{G}) = φ (e_{G} e_{G}) = φ (e_{G}) φ (e_{G})$ である。左ひだりから $φ (e_{G})^{- 1}$ を掛かけると $e_{H} = φ (e_{G})$ である。つぎに

e_{H} = φ (e_{G}) = φ (g g^{- 1}) = φ (g) φ (g^{- 1})

なので、 $φ (g^{- 1})$ は $φ (g)$ の逆元ぎゃくげんである。よって $φ (g^{- 1}) = φ (g)^{- 1}$ である。

さらに、核かくkernel $\ker φ$ は $G$ の正規部分群せいきぶぶんぐんである。 $a, b \in \ker φ$ なら

φ (a b^{- 1}) = φ (a) φ (b)^{- 1} = e_{H} e_{H^{- 1}} = e_{H}

なので $a b^{- 1} \in \ker φ$ であり、部分群判定法ぶぶんぐんはんていほうから部分群ぶぶんぐんである。また $g \in G$ 、 $a \in \ker φ$ について

φ (g a g^{- 1}) = φ (g) φ (a) φ (g)^{- 1} = φ (g) e_{H} φ (g)^{- 1} = e_{H}

なので $g a g^{- 1} \in \ker φ$ である。したがって核かくは正規せいきである。

最後さいごに、 $φ$ が単射たんしゃであることと $\ker φ = {e_{G}}$ は同値どうちである。 $φ$ が単射たんしゃなら、 $φ (g) = e_{H} = φ (e_{G})$ から $g = e_{G}$ である。逆ぎゃくに $\ker φ = {e_{G}}$ とし、 $φ (g_{1}) = φ (g_{2})$ とする。すると

φ (g_{1} g_{2^{- 1}}) = e_{H}

なので $g_{1} g_{2^{- 1}} \in \ker φ$ 、したがって $g_{1} g_{2^{- 1}} = e_{G}$ である。よって $g_{1} = g_{2}$ であり、 $φ$ は単射たんしゃである。

12Proof supplement: what homomorphisms準同型じゅんどうけい preserve

Let $φ : G \to H$ be a group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい. Then

φ (e_{G}) = e_{H}, φ (g^{- 1}) = φ (g)^{- 1}

First, $φ (e_{G}) = φ (e_{G} e_{G}) = φ (e_{G}) φ (e_{G})$ . Multiplying by $φ (e_{G})^{- 1}$ from the left gives $e_{H} = φ (e_{G})$ . Next,

e_{H} = φ (e_{G}) = φ (g g^{- 1}) = φ (g) φ (g^{- 1})

so $φ (g^{- 1})$ is the inverse of $φ (g)$ . Hence $φ (g^{- 1}) = φ (g)^{- 1}$ .

Moreover, the kernel核かく $\ker φ$ is a normal subgroup正規部分群せいきぶぶんぐん of $G$ . If $a, b \in \ker φ$ , then

φ (a b^{- 1}) = φ (a) φ (b)^{- 1} = e_{H} e_{H^{- 1}} = e_{H}

so $a b^{- 1} \in \ker φ$ , and the subgroup部分群ぶぶんぐん criterion gives that it is a subgroup部分群ぶぶんぐん. Also, for $g \in G$ and $a \in \ker φ$ ,

φ (g a g^{- 1}) = φ (g) φ (a) φ (g)^{- 1} = φ (g) e_{H} φ (g)^{- 1} = e_{H}

so $g a g^{- 1} \in \ker φ$ . Thus the kernel核かく is normal.

Finally, $φ$ is injective単射たんしゃ if and only if $\ker φ = {e_{G}}$ . If $φ$ is injective単射たんしゃ, then $φ (g) = e_{H} = φ (e_{G})$ implies $g = e_{G}$ . Conversely, suppose $\ker φ = {e_{G}}$ and $φ (g_{1}) = φ (g_{2})$ . Then

φ (g_{1} g_{2^{- 1}}) = e_{H}

so $g_{1} g_{2^{- 1}} \in \ker φ$ , hence $g_{1} g_{2^{- 1}} = e_{G}$ . Therefore $g_{1} = g_{2}$ , and $φ$ is injective単射たんしゃ.

13演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/abstract-algebra/準同型と同型-基本演習.n.md

14Exercise link

data/exercise/math/abstract-algebra/準同型と同型-基本演習.n.md

15まとめ

群準同型ぐんじゅんどうけいは演算えんざんを保たもつ写像しゃぞうである。核かくは潰つぶれる部分ぶぶん、像ぞうは到達とうたつする部分ぶぶんである。同型どうけいは構造こうぞうを完全かんぜんに保存ほぞんする準同型じゅんどうけいであり、抽象代数ちゅうしょうだいすうで「本質的ほんしつてきに同おなじ」を表あらわす。

16Summary

A group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい is a map that preserves operations. The kernel核かく is the part that is collapsed, and the image像ぞう is the part that is reached. An isomorphism同型どうけい is a homomorphism準同型じゅんどうけい that preserves structure completely, expressing the idea of being essentially the same in abstract algebra抽象代数ちゅうしょうだいすう.