準同型じゅんどうけいhomomorphismと同型どうけいisomorphism 基本きほん演習えんしゅう

homomorphisms準同型じゅんどうけい and isomorphisms同型どうけい: basic exercises

1対応たいおうする講義こうぎ

1Corresponding lectures

2関連かんれん演習えんしゅう

2Related exercises

3順序じゅんじょ上じょうの注意ちゅうい

問題もんだい1・2 は「群準同型ぐんじゅんどうけいと同型どうけい」までで取とり組くめる。問題もんだい3 は「準同型定理じゅんどうけいていりの見取みとり図ず」を読よんだ後あとに扱あつかう。証明しょうめい演習えんしゅうでは、前まえに導入どうにゅうした部分群判定法ぶぶんぐんはんていほうと正規部分群せいきぶぶんぐんを使つかう。

3Order note

Problems 1 and 2 can be attempted after "Group homomorphisms and isomorphisms." Problem 3 should be handled after reading "Overview of the homomorphism theorem." The proof exercise uses the subgroup criterion and normal subgroups introduced earlier.

4問題もんだい1：群準同型ぐんじゅんどうけいgroup homomorphismを確認かくにんする

$$\phi :\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$$\varphi:\mathbb Z\to\mathbb Z/5\mathbb Z を $$\phi \left(k\right)=\left[k\right]$$\varphi(k)=[k] で定さだめる。これは加法かほうaddition群ぐんgroupの準同型じゅんどうけいhomomorphismか。

4Problem 1: check a group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい

Define $$\phi :\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$$\varphi:\mathbb Z\to\mathbb Z/5\mathbb Z by $$\phi \left(k\right)=\left[k\right]$$\varphi(k)=[k]. Is this a homomorphism準同型じゅんどうけい of additive groups?

4.1解答かいとう

準同型じゅんどうけいhomomorphismである。任意にんいの整数せいすう $$a,b$$a,b について

だからである。

4.1Answer

Yes. For any integers $$a,b$$a,b,

4.2解説かいせつ

準同型じゅんどうけいhomomorphismでは、演算えんざんoperationしてから写うつすことと、写うつしてから演算えんざんoperationすることが一致いっちするかを見みる。

4.2Explanation

For a homomorphism準同型じゅんどうけい, we check whether operating first and then mapping gives the same result as mapping first and then operating.

5問題もんだい2：核かくkernelを求もとめる

問題もんだい1の準同型じゅんどうけいhomomorphismの核かくkernelを求もとめよ。

5Problem 2: find the kernel核かく

Find the kernel核かく of the homomorphism準同型じゅんどうけい in Problem 1.

5.1解答かいとう

核かくkernelは $$\left[0\right]$$[0] に送おくられる整数全体せいすうぜんたいである。

である。

5.1Answer

The kernel核かく is the set of all integers sent to $$\left[0\right]$$[0].

5.2解説かいせつ

核かくkernelは潰つぶれる部分ぶぶんである。この例れいでは、5 の倍数ばいすうが 0 の剰余類じょうよるいに送おくられる。

5.2Explanation

The kernel核かく is the part that is collapsed. In this example, multiples of 5 are sent to the zero residue class.

6問題もんだい3：第一準同型定理だいいちじゅんどうけいていりを読よむ

この問題もんだいでは、群準同型ぐんじゅんどうけい $$\phi :G\to H$$\varphi:G\to H に対たいして

が成なり立たつ、という第一準同型定理だいいちじゅんどうけいていりを使つかう。

問題もんだい1の準同型じゅんどうけいhomomorphismについて、第一準同型定理だいいちじゅんどうけいていりから何なにが分わかるか。

6Problem 3: read the first homomorphism準同型じゅんどうけい theorem

In this problem, use the first homomorphism準同型じゅんどうけい theorem for a group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい $$\phi :G\to H$$\varphi:G\to H:

For the homomorphism準同型じゅんどうけい in Problem 1, what follows from the first homomorphism準同型じゅんどうけい theorem?

6.1解答かいとう

である。ここで $$\ker \phi =5\mathbb{Z}$$\ker\varphi=5\mathbb Z、像ぞうimageは $$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$$\mathbb Z/5\mathbb Z 全体ぜんたいなので、

が得えられる。

6.1Answer

Here $$\ker \phi =5\mathbb{Z}$$\ker\varphi=5\mathbb Z, and the image像ぞう is all of $$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$$\mathbb Z/5\mathbb Z. Therefore

is obtained.

6.2解説かいせつ

この例れいでは定理ていりの主張しゅちょうが当然とうぜんに見みえる。しかし一般いっぱんには、「核かくkernelで潰つぶすと像ぞうimageになる」という構造こうぞうを示しめす重要じゅうような定理ていりである。

6.2Explanation

In this example the theorem's conclusion looks obvious. In general, however, it is an important theorem saying that collapsing by the kernel核かく produces the image像ぞう.

7証明しょうめい演習えんしゅう：核かくkernelと単射たんしゃinjectionの関係かんけい

7Proof exercise: the relation between kernel核かく and injectivity

7.1問題もんだい

$\phi :G\to H$\varphi:G\to H を群準同型ぐんじゅんどうけいgroup homomorphismとする。$\ker \phi$\ker\varphi が正規部分群せいきぶぶんぐんであること、また $\phi$\varphi が単射たんしゃinjectionであることと $\ker \phi =\left\{e_G\right\}$\ker\varphi=\{e_G\} が同値どうちであることを証明しょうめいせよ。

7.1Problem

Let $$\phi :G\to H$$\varphi:G\to H be a group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい. Prove that $$\ker \phi$$\ker\varphi is a normal subgroup正規部分群せいきぶぶんぐん, and prove that $$\phi$$\varphi is injective単射たんしゃ if and only if $$\ker \phi =\left\{e_G\right\}$$\ker\varphi=\{e_G\}.

7.2解答かいとう

$a,b\in \ker \phi$a,b\in\ker\varphi なら

なので $a{b}^{-1}\in \ker \phi$ab^{-1}\in\ker\varphi であり、部分群判定法ぶぶんぐんはんていほうから部分群ぶぶんぐんである。さらに

なので核かくkernelは正規せいきである。

$\phi$\varphi が単射たんしゃinjectionなら、$\phi \left(g\right)=e=\phi \left(e_G\right)$\varphi(g)=e=\varphi(e_G) から $g=e_G$g=e_G である。逆ぎゃくに $\ker \phi =\left\{e_G\right\}$\ker\varphi=\{e_G\} とし、$\phi \left(g_1\right)=\phi \left(g_2\right)$\varphi(g_1)=\varphi(g_2) とする。このとき $\phi \left(g_1{g}_{2^{-1}}\right)=e$\varphi(g_1g_2^{-1})=e なので $g_1{g}_{2^{-1}}=e_G$g_1g_2^{-1}=e_G である。よって $g_1=g_2$g_1=g_2 である。

7.2Answer

If $$a,b\in \ker \phi$$a,b\in\ker\varphi, then

so $$a{b}^{-1}\in \ker \phi$$ab^{-1}\in\ker\varphi. By the subgroup部分群ぶぶんぐん criterion, the kernel核かく is a subgroup部分群ぶぶんぐん. Also,

so the kernel核かく is normal.

If $$\phi$$\varphi is injective単射たんしゃ, then $$\phi \left(g\right)=e=\phi \left(e_G\right)$$\varphi(g)=e=\varphi(e_G) implies $$g=e_G$$g=e_G. Conversely, suppose $$\ker \phi =\left\{e_G\right\}$$\ker\varphi=\{e_G\} and $$\phi \left(g_1\right)=\phi \left(g_2\right)$$\varphi(g_1)=\varphi(g_2). Then $$\phi \left(g_1{g}_{2^{-1}}\right)=e$$\varphi(g_1g_2^{-1})=e, so $$g_1{g}_{2^{-1}}=e_G$$g_1g_2^{-1}=e_G. Hence $$g_1=g_2$$g_1=g_2.

7.3解説かいせつ

核かくkernelは準同型じゅんどうけいhomomorphismで潰つぶれる部分ぶぶんである。核かくkernelが単位元たんいげんidentity elementだけなら、異ことなる元もとが同おなじ行いき先さきに潰つぶれない。

7.3Explanation

The kernel核かく is the part collapsed by the homomorphism準同型じゅんどうけい. If the kernel核かく consists only of the identity element単位元たんいげん, then two different elements cannot collapse to the same image像ぞう.