剰余類じょうよるいcoset・正規部分群せいきぶぶんぐんnormal subgroup・商群しょうぐんquotient group 基本きほん演習えんしゅう

cosets剰余類じょうよるい, normal subgroups正規部分群せいきぶぶんぐん, and quotient groups商群しょうぐん: basic exercises

1対応たいおうする講義こうぎ

1Corresponding lectures

2関連かんれん演習えんしゅう

2Related exercises

3問題もんだい1：剰余類じょうよるいcosetを求もとめる

$$(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z/6\mathbb Z,+) の部分群ぶぶんぐんsubgroup $$H=\left\{\right[0],[3\left]\right\}$$H=\{[0],[3]\} について、$$\left[1\right]+H$$[1]+H を求もとめよ。

3Problem 1: find a coset剰余類じょうよるい

For the subgroup部分群ぶぶんぐん $$H=\left\{\right[0],[3\left]\right\}$$H=\{[0],[3]\} of $$(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z/6\mathbb Z,+), find $$\left[1\right]+H$$[1]+H.

3.1解答かいとう

である。

3.1Answer

3.2解説かいせつ

剰余類じょうよるいcosetは、部分群ぶぶんぐんsubgroup全体ぜんたいを一ひとつの元げんelementでずらした集合しゅうごうsetである。

3.2Explanation

A coset剰余類じょうよるい is the set obtained by shifting the whole subgroup部分群ぶぶんぐん by one element.

4問題もんだい2：ラグランジュの定理ていりLagrange theoremを使つかう

位数いすうorder 12 の有限群ゆうげんぐんfinite groupに、位数いすうorder 5 の部分群ぶぶんぐんsubgroupは存在そんざいしうるか。

4Problem 2: use Lagrange's theoremラグランジュの定理

Can a finite group of order位数いすう 12 have a subgroup部分群ぶぶんぐん of order位数いすう 5?

4.1解答かいとう

存在そんざいしない。ラグランジュの定理ていりLagrange theoremにより、部分群ぶぶんぐんsubgroupの位数いすうorderは群ぐんgroupの位数いすうorderを割わり切きる必要ひつようがある。しかし 5 は 12 を割わり切きらない。

4.1Answer

No. By Lagrange's theoremラグランジュの定理, the order位数いすう of a subgroup部分群ぶぶんぐん must divide the order位数いすう of the group. But 5 does not divide 12.

4.2解説かいせつ

ラグランジュの定理ていりLagrange theoremは存在そんざい可能性かのうせいを絞しぼる定理ていりである。割わり切きることは必要ひつよう条件じょうけんnecessary conditionであり、十分じゅうぶん条件じょうけんsufficient conditionではない。

4.2Explanation

Lagrange's theoremラグランジュの定理 narrows down possible subgroup部分群ぶぶんぐん orders. Divisibility is a necessary condition必要条件ひつようじょうけん, not a sufficient condition十分条件じゅうぶんじょうけん.

5問題もんだい3：商群しょうぐんquotient groupを作つくれる条件じょうけん

部分群ぶぶんぐんsubgroup $$N\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}G$$N\le G から商群しょうぐんquotient group $$G/N$$G/N を作つくるには何なにが必要ひつようか。

5Problem 3: condition for forming a quotient group商群しょうぐん

What is needed to construct a quotient group商群しょうぐん $$G/N$$G/N from a subgroup部分群ぶぶんぐん $$N\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}G$$N\le G?

5.1解答かいとう

$$N$$N が正規部分群せいきぶぶんぐんnormal subgroupである必要ひつようがある。

5.1Answer

The subgroup部分群ぶぶんぐん $$N$$N must be a normal subgroup正規部分群せいきぶぶんぐん.

5.2解説かいせつ

剰余類じょうよるいcosetの積せき $$\left(gN\right)\left(hN\right)=\left(gh\right)N$$(gN)(hN)=(gh)N が代表元だいひょうげんによらず定さだまるために、正規性せいきせいが必要ひつようである。

5.2Explanation

Normality is needed so that the product of cosets剰余類じょうよるい $$\left(gN\right)\left(hN\right)=\left(gh\right)N$$(gN)(hN)=(gh)N is determined independently of representatives.

6証明しょうめい演習えんしゅう：剰余類じょうよるいcosetの分割ぶんかつと商群しょうぐんquotient groupの well-defined 性せい

6Proof exercise: coset剰余類じょうよるい partitions and well-definedness of quotient groups商群しょうぐん

6.1問題もんだい

$H\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}G$H\le G の左ひだり剰余類じょうよるいcosetが $G$G を分割ぶんかつすることを証明しょうめいせよ。また、$N\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("trianglelefteq")")]}G$N\trianglelefteq G なら $\left(aN\right)\left(bN\right)=abN$(aN)(bN)=abN が代表元だいひょうげんによらないことを証明しょうめいせよ。

6.1Problem

Prove that the left cosets剰余類じょうよるい of $$H\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}G$$H\le G partition $$G$$G. Also prove that if $$N\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("trianglelefteq")")]}G$$N\trianglelefteq G, then $$\left(aN\right)\left(bN\right)=abN$$(aN)(bN)=abN is independent of representatives.

6.2解答かいとう

任意にんいの $g\in G$g\in G は $g\in gH$g\in gH なので、左ひだり剰余類じょうよるいcosetの合併がっぺいで $G$G は覆おおわれる。もし $aH\cap bH\ne \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$aH\cap bH\ne\varnothing なら、ある $x$x について $x=a{h}_1=b{h}_2$x=ah_1=bh_2 である。すると $b^{-1}a=h_2{h}_{1^{-1}}\in H$b^{-1}a=h_2h_1^{-1}\in H であり、$aH=bH$aH=bH が従したがう。よって交まじわる二ふたつの類るいは一致いっちする。

つぎに $aN=a^{\prime }N$aN=a'N、$bN=b^{\prime }N$bN=b'N とする。$a^{\prime }=a{n}_1$a'=an_1、$b^{\prime }=b{n}_2$b'=bn_2 と書かける。すると

である。$N$N は正規せいきなので $b^{-1}{n}_{1}b\in N$b^{-1}n_1b\in N であり、右側みぎがわの余分よぶんな因子いんしは $N$N に入はいる。したがって $a^{\prime }{b}^{\prime }N=abN$a'b'N=abN である。

6.2Answer

Every $$g\in G$$g\in G belongs to $$gH$$gH, so the union of the left cosets剰余類じょうよるい covers $$G$$G. If $$aH\cap bH\ne \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$$aH\cap bH\ne\varnothing, then for some $$x$$x we have $$x=a{h}_1=b{h}_2$$x=ah_1=bh_2. Then $$b^{-1}a=h_2{h}_{1^{-1}}\in H$$b^{-1}a=h_2h_1^{-1}\in H, and it follows that $$aH=bH$$aH=bH. Thus any two cosets剰余類じょうよるい that intersect are equal.

Next suppose $$aN=a^{\prime }N$$aN=a'N and $$bN=b^{\prime }N$$bN=b'N. Then $$a^{\prime }=a{n}_1$$a'=an_1 and $$b^{\prime }=b{n}_2$$b'=bn_2 for some $$n_1,n_2\in N$$n_1,n_2\in N. Hence

Since $$N$$N is normal, $$b^{-1}{n}_{1}b\in N$$b^{-1}n_1b\in N, and the extra factor on the right lies in $$N$$N. Therefore $$a^{\prime }{b}^{\prime }N=abN$$a'b'N=abN.

6.3解説かいせつ

剰余類じょうよるいcosetは集合しゅうごうsetとしてはいつも分割ぶんかつを作つくるが、積せきを入いれて群ぐんgroupにするには正規性せいきせいが必要ひつようである。

6.3Explanation

Cosets always form a partition as sets, but normality is needed to put a group operation on the set of cosets剰余類じょうよるい.