準同型定理じゅんどうけいていりhomomorphism theoremの見取みとり図ず

準同型定理じゅんどうけいていりの中なか心こころにある考かんがえは単純たんじゅんである。準同型じゅんどうけいで同おなじ値あたいに潰つぶれる元げんを先さきに同一視どういつしすると、残のこった構造こうぞうは像ぞうと同おなじになる。

この見方みかたは、群ぐん、環かん、線型代数せんけいだいすうに共通きょうつうしている。

線型代数せんけいだいすうは類似るいじを示しめすための接続せつぞくであり、このページの証明しょうめいでは群ぐんと環かんで導入どうにゅうした核かく・像ぞう・商しょうだけを使つかう。

Overview of the homomorphism theorem準同型定理じゅんどうけいていり

The central idea of the homomorphism theorem準同型定理じゅんどうけいていり is simple. If elements that collapse to the same value under a homomorphism準同型じゅんどうけい are first identified, the remaining structure is the same as the image像ぞう.

This viewpoint is common to groups群ぐん, rings環かん, and linear algebra.

Linear algebra is included only as an analogy. The proofs on this page use only kernels, images, and quotients already introduced for groups and rings.

1第一準同型定理だいいちじゅんどうけいていりの形かたち

群準同型ぐんじゅんどうけい $$\phi :G\to H$$\varphi:G\to H に対たいして、

が成なり立たつ。

環準同型かんじゅんどうけい $$\phi :R\to S$$\varphi:R\to S に対たいしても、

が成なり立たつ。

式しきは同おなじ形かたちである。違ちがうのは、群ぐんでは核かくが正規部分群せいきぶぶんぐんであり、環かんでは核かくがイデアルである点てんである。

1Form of the first homomorphism準同型じゅんどうけい theorem

For a group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい $$\phi :G\to H$$\varphi:G\to H,

holds.

For a ring homomorphism環準同型かんじゅんどうけい $$\phi :R\to S$$\varphi:R\to S, the same form holds:

The formula has the same shape. The difference is that in group theory the kernel核かく is a normal subgroup正規部分群せいきぶぶんぐん, while in ring theory the kernel核かく is an idealイデアル.

2何故なぜそうなるか

写像しゃぞう $$\phi$$\varphi は、核かくの中なかの元げんを単位元たんいげんまたは 0 に送おくる。したがって、核かくだけずれた元げんは同おなじ像ぞうを持もつ。

群ぐんの場合ばあい、

という剰余類じょうよるいを、

へ送おくる写像しゃぞうを考かんがえる。この写像しゃぞうは、代表元だいひょうげんの選えらび方かたによらず定さだまる。もし $$g\ker \phi =g^{\prime }\ker \phi$$g\ker\varphi=g'\ker\varphi なら、$$g^{-1}{g}^{\prime }\in \ker \phi$$g^{-1}g'\in\ker\varphi なので $$\phi \left(g\right)=\phi \left(g^{\prime }\right)$$\varphi(g)=\varphi(g') である。

ここでは逆元ぎゃくげんを使つかっているため、群ぐんであることが必要ひつようである。

2Why this happens

The map $$\phi$$\varphi sends elements in the kernel核かく to the identity element単位元たんいげん or to 0. Therefore elements that differ only by the kernel核かく have the same image像ぞう.

In the group case, consider the map that sends the coset剰余類じょうよるい

to

This map is independent of the choice of representative. If $$g\ker \phi =g^{\prime }\ker \phi$$g\ker\varphi=g'\ker\varphi, then $$g^{-1}{g}^{\prime }\in \ker \phi$$g^{-1}g'\in\ker\varphi, so $$\phi \left(g\right)=\phi \left(g^{\prime }\right)$$\varphi(g)=\varphi(g').

This argument uses inverses, so the group structure is needed.

3線型代数せんけいだいすうとの対応たいおう

線型せんけい写像しゃぞう $$T:V\to W$$T:V\to W では、核かくは

であり、像ぞうは

である。核かく方向ほうこうを潰つぶすと、残のこる自由度じゆうどが像ぞうになる。この直感ちょっかんは、階数かいすう・退化たいか・商空間しょうくうかんの理解りかいにつながる。

この対応たいおうは見通みとおしであり、線型せんけい写像しゃぞうの定理ていりを使つかって第一準同型定理だいいちじゅんどうけいていりを証明しょうめいしているわけではない。

3Correspondence with linear algebra

For a linear map $$T:V\to W$$T:V\to W, the kernel核かく is

and the image像ぞう is

Collapsing the kernel核かく directions leaves the degrees of freedom that become the image像ぞう. This intuition connects to rank, degeneracy, and quotient spaces.

This correspondence is only a preview; the first homomorphism theorem is not being proved by using theorems about linear maps.

4何なにが変かわり、何なにが保存ほぞんされるか

準同型定理じゅんどうけいていりでは、核かくの中なかの違ちがいを潰つぶす。変かわるのは元げんの識別しきべつの細こまかさである。保存ほぞんされるのは、準同型じゅんどうけいによって実際じっさいに観測かんそくできる構造こうぞう、つまり像ぞうである。

4What changes and what is preserved

In the homomorphism準同型じゅんどうけい theorem, differences inside the kernel核かく are collapsed. What changes is the fineness with which elements are distinguished. What is preserved is the structure actually observable through the homomorphism準同型じゅんどうけい, namely the image像ぞう.

5証明しょうめい補足ほそく：第一同型定理だいいちどうけいていりの証明しょうめい

$\phi :G\to H$\varphi:G\to H を群準同型ぐんじゅんどうけいとする。第一同型定理だいいちどうけいていりfirst isomorphism theorem は

を主張しゅちょうする。

ここでは群ぐんの場合ばあいを証明しょうめいする。環かんの場合ばあいも方針ほうしんは同おなじで、正規部分群せいきぶぶんぐんの代かわりにイデアルを使つかう。

写像しゃぞう

を定義ていぎする。まず well-defined であることを示しめす。$g\ker \phi =g^{\prime }\ker \phi$g\ker\varphi=g'\ker\varphi なら ${g^{\prime }}^{-1}g\in \ker \phi$g'^{-1}g\in\ker\varphi である。したがって

であり、$\phi \left(g^{\prime }{)}^{-1}\phi \right(g)=e$\varphi(g')^{-1}\varphi(g)=e だから $\phi \left(g\right)=\phi \left(g^{\prime }\right)$\varphi(g)=\varphi(g') である。

つぎに $\mathrm{\Phi }$\Phi は準同型じゅんどうけいである。

である。全射ぜんしゃは像ぞうの定義ていぎから従したがう。単射たんしゃは、$\mathrm{\Phi }\left(g\ker \phi \right)=e$\Phi(g\ker\varphi)=e なら $\phi \left(g\right)=e$\varphi(g)=e、つまり $g\in \ker \phi$g\in\ker\varphi なので $g\ker \phi =\ker \phi$g\ker\varphi=\ker\varphi となることから従したがう。

よって $\mathrm{\Phi }$\Phi は同型どうけいであり、$G/\ker \phi \cong \mathrm{Im}\phi$G/\ker\varphi\cong\operatorname{Im}\varphi である。核かくで潰つぶしてから写うつすと、ちょうど像ぞうだけが残のこる、という直感ちょっかんがこの証明しょうめいの内容ないようである。

5Proof supplement: proof証明しょうめい of the first isomorphism同型どうけい theorem

Let $$\phi :G\to H$$\varphi:G\to H be a group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい. The first isomorphism theorem第一同型定理だいいちどうけいていり states that

Here we prove the group case. The ring case follows the same strategy, with ideals used in place of normal subgroups.

Define the map

First show that it is well-defined. If $$g\ker \phi =g^{\prime }\ker \phi$$g\ker\varphi=g'\ker\varphi, then $${g^{\prime }}^{-1}g\in \ker \phi$$g'^{-1}g\in\ker\varphi. Hence

and $$\phi \left(g^{\prime }{)}^{-1}\phi \right(g)=e$$\varphi(g')^{-1}\varphi(g)=e, so $$\phi \left(g\right)=\phi \left(g^{\prime }\right)$$\varphi(g)=\varphi(g').

Next, $$\mathrm{\Phi }$$\Phi is a homomorphism準同型じゅんどうけい:

Surjectivity follows from the definition定義ていぎ of the image像ぞう. Injectivity follows because if $$\mathrm{\Phi }\left(g\ker \phi \right)=e$$\Phi(g\ker\varphi)=e, then $$\phi \left(g\right)=e$$\varphi(g)=e, so $$g\in \ker \phi$$g\in\ker\varphi and therefore $$g\ker \phi =\ker \phi$$g\ker\varphi=\ker\varphi.

Thus $$\mathrm{\Phi }$$\Phi is an isomorphism同型どうけい, and $$G/\ker \phi \cong \mathrm{Im}\phi$$G/\ker\varphi\cong\operatorname{Im}\varphi. The content of the proof証明しょうめい is the intuition that after collapsing the kernel核かく and then mapping, exactly the image像ぞう remains.

6演習えんしゅうリンク

6Exercise link

7まとめ

第一準同型定理だいいちじゅんどうけいていりは、「核かくで割わると像ぞうになる」という定理ていりである。群ぐん、環かん、線型せんけい写像しゃぞうで同おなじ形かたちが現あらわれるため、抽象代数ちゅうしょうだいすうと線型代数せんけいだいすうを結むすぶ重要じゅうような見取みとり図ずになる。

7Summary

The first homomorphism準同型じゅんどうけい theorem says that "quotienting by the kernel核かく gives the image像ぞう." The same form appears for groups, rings, and linear maps, making it an important overview that connects abstract algebra抽象代数ちゅうしょうだいすう with linear algebra.