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整数の性質と素因数分解-基本演習md 5edc7dd
exercise/math/algebra/integer-properties-and-prime-factorization.exercise.n.md
整数の性質と素因数分解-基本演習
mathalgebranumber-theoryexercise
2演習方針
割り切れることを示すときは、対象を「約数」「余り」「素因数の指数」のどれで見るかを先に決定する。
3問題 1：倍数判定
57321 が 3,9,11 の倍数であるかをそれぞれ判定せよ。
3.1解答例
各桁の和は 5+7+3+2+1=18 なので、3 と 9 の倍数である。交互和は 5-7+3-2+1=0 なので、11 の倍数でもある。
3.2診断
判定法を暗記するだけでなく、10\equiv1\pmod 9 と 10\equiv-1\pmod{11} が根拠であることを確認する。
4問題 2：最大公約数と最小公倍数
a=2^4\cdot3^2\cdot5、b=2^2\cdot3\cdot7 の \gcd(a,b) と \operatorname{lcm}(a,b) を求めよ。
4.1解答例
\gcd(a,b)=2^2\cdot3=12,
\qquad
\operatorname{lcm}(a,b)=2^4\cdot3^2\cdot5\cdot7=5040.
4.2診断
最大公約数では指数の最小値、最小公倍数では最大値を採る。片方に現れない素数の指数は 0 とみなす。
5問題 3：約数の個数
756 を素因数分解し、正の約数の個数を求めよ。
5.1解答例
756=2^2\cdot3^3\cdot7
である。約数では各指数を 0\leq e_2\leq2、0\leq e_3\leq3、0\leq e_7\leq1 から独立に選ぶので、個数は
(2+1)(3+1)(1+1)=24
である。
5.2診断
「指数の選択肢の積」という意味を説明できるかを確認する。
6問題 4：Euclid の補題
p を素数とする。p\mid a^2 なら p\mid a であることを、Euclid の補題から示せ。
6.1解答例
p\mid a^2=a\cdot a である。Euclid の補題 p\mid xy\Rightarrow p\mid x または p\mid y を x=y=a に適用すると p\mid a を得る。
6.2診断
この推論で p が素数であるという仮定は不可欠である。実際、6\mid2\cdot3 だが 6\nmid2 かつ 6\nmid3 であり、合成数では同じ二者択一は成立しない。
7問題 5：証明演習
\gcd(a,b)=1 かつ a\mid n、b\mid n なら ab\mid n であることを示せ。
7.1解答例
a\mid n より n=ak と書ける。b\mid n=ak かつ \gcd(a,b)=1 なので、Euclid の補題の互いに素な形から b\mid k である。よって k=bt と書け、n=abt だから ab\mid n である。
7.2診断
a\mid n と b\mid n だけでは不十分であり、\gcd(a,b)=1 を使用した箇所を特定する。
8誤答診断
| 問題 | 分類 | 典型誤答 | 戻る内容 |
|---|
| 1 | 前提理解不足 | 11 の判定で桁の総和を使う | 10\equiv-1\pmod{11} |
| 2–3 | 公式適用ミス | gcd と lcm の指数の min、max を逆にする | 素因数の指数表示 |
| 4–5 | 適用条件ミス | 素数または「互いに素」の仮定を使わない | Euclid の補題 |