置換積分ちかんせきぶんsubstitutionと部分積分ぶぶんせきぶんintegration by parts-基本演習きほんえんしゅう

date2026-05-26description置換積分と部分積分を、連鎖律と積の微分公式の逆向きとして確認する基本演習である。prerequisites積分公式と計算法 / 微分公式と計算法type問題演習content_typeexercisestatusactive

mathcalculusexercisesubstitutionintegration-by-parts

問題もんだい 1

$\int 2 x \sin (x^{2}) d x$ を求もとめよ。

○

$u = x^{2}$ と置おくと $d u = 2 x d x$ である。よって $\int \sin u d u = - \cos u + C = - \cos (x^{2}) + C$ である。

置換積分ちかんせきぶんsubstitutionは連鎖律れんさりつchain ruleの逆向ぎゃくむきである。

$\int x \cos x d x$ を求もとめよ。

○

部分積分ぶぶんせきぶんintegration by partsで $f = x$ 、 $g^{'} = \cos x$ とする。 $f^{'} = 1$ 、 $g = \sin x$ より

\int x \cos x d x = x \sin x - \int \sin x d x = x \sin x + \cos x + C

である。

多項式たこうしきを微分びぶんで簡単かんたんにする選択せんたくが自然しぜんである。