微分公式びぶんこうしきと計算法けいさんほう

date2026-05-26description微分公式を、線形性・積の微分・商の微分・連鎖律・逆関数の微分から体系化し、初等関数の導関数を導出する。prerequisites導関数の定義 / 極限と連続 / 指数関数と対数関数 / 三角関数の加法定理type講義statusactive

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導入どうにゅう

この講義こうぎの核心かくしんは、微分公式びぶんこうしきを暗記項目あんきこうもくとして並列へいれつに保持ほじするのではなく、関数かんすうがどの演算えんざんで構成こうせいされているかに応おうじて導出どうしゅつする体系たいけいとして理解りかいすることにある。

導関数どうかんすうの定義ていぎは差商さしょうの極限きょくげんである。しかし実際じっさいの計算けいさんでは、毎回まいかい差商さしょうから再導出さいどうしゅつするのではなく、和わ、積せき、商しょう、合成ごうせい、逆関数ぎゃくかんすうという構成こうせい単位たんいごとに規則きそくを適用てきようする。この規則きそくを証明しょうめいしておくと、複雑ふくざつな式しきでも「どの外側そとがわの構造こうぞうから処理しょりするか」を判定はんていできる。

何なにを処理しょりするページか

このページでは、一変数いちへんすう関数かんすう $f (x)$ が基本関数きほんかんすうから四則演算しそくえんざん、合成ごうせい、逆関数ぎゃくかんすうで構成こうせいされる場合ばあいを扱あつかう。目的もくてきは、最終式さいしゅうしきだけを提示ていじすることではなく、次つぎの判定はんていを本文ほんぶんの中なかで実行じっこうできるようにすることだ。

和わまたは差さとして分解ぶんかいできるか。
積せきとして構成こうせいされているか。
商しょうとして構成こうせいされ、分母ぶんぼが 0 でないか。
外側そとがわの関数かんすうと内側うちがわの関数かんすうに分離ぶんりできるか。
逆関数ぎゃくかんすうまたは対数たいすう微分びぶんで簡潔かんけつになるか。

方針ほうしん

微分公式びぶんこうしきは、式しきの外側そとがわの構造こうぞうから選択せんたくする。和わなら線形性せんけいせい、積せきならライプニッツ則そく、商しょうなら逆数ぎゃくすうと積せき、合成ごうせいなら連鎖律れんさりつ、逆関数ぎゃくかんすうなら恒等式こうとうしきを微分びぶんする。この順序じゅんじょで整理せいりすると、公式こうしきの選択せんたくが記憶きおくではなく構造判定こうぞうはんていになる。

線形性せんけいせいの導出どうしゅつ

$F (x) = a f (x) + b g (x)$ とする。 $a, b$ は定数ていすうである。差商さしょうを計算けいさんすると、

\frac{F (x + h) - F (x)}{h} = a \frac{f (x + h) - f (x)}{h} + b \frac{g (x + h) - g (x)}{h}

である。 $h \to 0$ とすれば、

(a f + b g)^{'} = a f^{'} + b g^{'}

を得える。微分びぶんが和わと定数倍ていすうばいを保たもつため、多項式たこうしきの微分びぶんは各項かくこうの微分びぶんへ分解ぶんかいできる。

積せきの微分びぶんの導出どうしゅつ

$F (x) = f (x) g (x)$ とする。積せきの微分びぶんでは、片方かたほうだけが変化へんかするのではない。 $x$ が $x + h$ へ移動いどうすると、 $f$ も $g$ も同時どうじに変化へんかする。この同時変化どうじへんかを二ふたつの差さへ分解ぶんかいするために、分子ぶんしへ $f (x) g (x + h)$ を加減かげんする。

\frac{f (x + h) g (x + h) - f (x) g (x)}{h}

= \frac{[f (x + h) - f (x)] g (x + h) + f (x) [g (x + h) - g (x)]}{h}

したがって、

= \frac{f (x + h) - f (x)}{h} g (x + h) + f (x) \frac{g (x + h) - g (x)}{h}

となる。 $f, g$ が $x$ で微分可能びぶんかのうなら連続れんぞくなので $g (x + h) \to g (x)$ であり、

(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}

を得える。積せきの微分びぶんに $f^{'} g^{'}$ が単独たんどくで現あらわれないのは、一次いちじの変化へんかだけを残のこし、 $h^{2}$ 程度ていどの高次項こうじこうが極限きょくげんで消滅しょうめつするためである。

商しょうの微分びぶんの導出どうしゅつ

商しょうの公式こうしきは独立どくりつした暗記あんき対象たいしょうではない。逆数ぎゃくすうの微分びぶんと積せきの微分びぶんから導出どうしゅつできる。 $g (x) \neq 0$ とし、 $u (x) = 1 / g (x)$ とおく。 $g (x) u (x) = 1$ だから、

g^{'} (x) u (x) + g (x) u^{'} (x) = 0

である。よって、

u^{'} (x) = - \frac{g^{'} (x)}{g (x)^{2}}

となる。したがって、

{(\frac{f}{g})}^{'} = f^{'} \frac{1}{g} + f (- \frac{g^{'}}{g^{2}}) = \frac{f^{'} g - f g^{'}}{g^{2}}

を得える。分母ぶんぼが 0 になる点てんでは関数かんすうそのものが定義ていぎされないため、この公式こうしきは適用てきようできない。

連鎖律れんさりつの導出どうしゅつ

$y = f (g (x))$ とする。連鎖律れんさりつは「外側そとがわの微分びぶんに内側うちがわの微分びぶんを掛かける」という記憶法きおくほうではなく、局所線形近似きょくしょせんけいきんじの合成ごうせいである。

$g$ が $x$ で微分可能びぶんかのうなら、

g (x + h) = g (x) + g^{'} (x) h + r (h), \frac{r (h)}{h} \to 0

である。 $u = g (x)$ 、 $k = g (x + h) - g (x)$ とおくと、 $f$ が $u$ で微分可能びぶんかのうなら、

f (u + k) = f (u) + f^{'} (u) k + s (k), \frac{s (k)}{k} \to 0

である。ここで $k = g^{'} (x) h + r (h)$ だから、 $k$ は $h$ と同程度どうていどに小ちいさい。ゆえに

f (g (x + h)) - f (g (x)) = f^{'} (g (x)) [g^{'} (x) h + r (h)] + s (k)

を $h$ で割わって極限操作きょくげんそうさを適用てきようすると、

\frac{d}{d x} f (g (x)) = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

となる。複合関数ふくごうかんすうの微分びぶんでは、外側そとがわの関数かんすうを内側うちがわの値あたいで評価ひょうかする点てんを省略しょうりゃくしてはならない。

逆関数ぎゃくかんすうの微分びぶん

$y = f^{- 1} (x)$ とする。これは $f (y) = x$ と同値どうちである。両辺りょうへんを $x$ で微分びぶんすると、連鎖律れんさりつにより

f^{'} (y) \frac{d y}{d x} = 1

である。したがって、

\frac{d}{d x} f^{- 1} (x) = \frac{1}{f^{'} (f^{- 1} (x))}

を得える。この公式こうしきは $f^{'} (f^{- 1} (x)) \neq 0$ が必要ひつようである。接線せっせんが水平すいへいになる点てんでは、逆関数ぎゃくかんすうの傾かたむきが無限大むげんだいになる可能性かのうせいがある。

対数微分たいすうびぶん

$y > 0$ の範囲はんいで、 $\ln y$ を微分びぶんすると

\frac{d}{d x} \ln y = \frac{y^{'}}{y}

である。したがって、積せき・商しょう・冪べきが複雑ふくざつに重かさなる場合ばあいは、先さきに対数化たいすうかすることで積せきを和わへ、冪べきを積せきへ変換へんかんできる。

例れいとして $y = x^{x}$ （ $x > 0$ ）を検討けんとうする。 $\ln y = x \ln x$ だから、

\frac{y^{'}}{y} = \ln x + 1

である。よって

\frac{d}{d x} x^{x} = x^{x} (\ln x + 1)

となる。 $x^{x}$ は冪関数べきかんすう $x^{r}$ でも指数関数しすうかんすう $a^{x}$ でもなく、底ていと指数しすうの両方りょうほうが変数へんすうであるため、対数微分たいすうびぶんが自然しぜんである。

初等関数しょとうかんすうの微分公式びぶんこうしき

関数かんすう	導関数どうかんすう	根拠こんきょ
$C$	$0$	定数ていすうの差さは 0
$x^{n}$	$n x^{n - 1}$	二項定理にこうていり
$x^{r}$ （ $x > 0$ ）	$r x^{r - 1}$	$x^{r} = e^{r \ln x}$
$e^{x}$	$e^{x}$	$e$ の正規化せいきか
$a^{x}$	$a^{x} \ln a$	$a^{x} = e^{x \ln a}$
$\ln x$	$1 / x$	逆関数ぎゃくかんすうの微分びぶん
$\log_{a} x$	$1 / (x \ln a)$	$\log_{a} x = \ln x / \ln a$
$\sin x$	$\cos x$	加法定理かほうていりと基本極限きほんきょくげん
$\cos x$	$- \sin x$	加法定理かほうていり
$\tan x$	$\sec^{2} x$	$\tan x = \sin x / \cos x$
$\arcsin x$	$1 / \sqrt{1 - x^{2}}$	逆関数ぎゃくかんすうの微分びぶん
$\arctan x$	$1 / (1 + x^{2})$	逆関数ぎゃくかんすうの微分びぶん

三角関数さんかくかんすうの導出どうしゅつ

加法定理かほうていりより、

\sin (x + h) - \sin x = \sin x (\cos h - 1) + \cos x \sin h

である。基本極限きほんきょくげん

\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1, \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0

を用もちいると、

\frac{d}{d x} \sin x = \cos x

を得える。同様どうように

\cos (x + h) - \cos x = \cos x (\cos h - 1) - \sin x \sin h

から

\frac{d}{d x} \cos x = - \sin x

を得える。 $\tan x$ は商しょうの微分びぶんで

\frac{d}{d x} \tan x = \frac{\cos^{2} x + \sin^{2} x}{\cos^{2} x} = \sec^{2} x

となる。

逆三角関数ぎゃくさんかくかんすうの導出どうしゅつ

$y = \arcsin x$ とする。これは $\sin y = x$ 、ただし $- π / 2 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] y [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] π / 2$ を意味いみする。両辺りょうへんを微分びぶんすると

\cos y \frac{d y}{d x} = 1

である。この範囲はんいでは $\cos y [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ なので、

\cos y = \sqrt{1 - \sin^{2} y} = \sqrt{1 - x^{2}}

を得える。よって

\frac{d}{d x} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

である。 $y = \arctan x$ では $\tan y = x$ だから、

\sec^{2} y \frac{d y}{d x} = 1, \sec^{2} y = 1 + \tan^{2} y = 1 + x^{2}

より

\frac{d}{d x} \arctan x = \frac{1}{1 + x^{2}}

となる。

判定基準はんていきじゅん

式しきの外側そとがわの構造こうぞう	選択せんたくする規則きそく	注意ちゅうい
和わ・差さ	線形性せんけいせい	各項かくこうへ分解ぶんかいする
積せき	積せきの微分びぶん	片方かたほうだけ微分びぶんして完了かんりょうしない
商しょう	商しょうの微分びぶん	分母ぶんぼが 0 でない範囲はんいに限定げんていする
$f (g (x))$	連鎖律れんさりつ	外側そとがわを $g (x)$ で評価ひょうかする
逆関数ぎゃくかんすう	逆関数ぎゃくかんすうの微分びぶん	$f^{'}$ が 0 でない範囲はんいを確認かくにんする
底ていと指数しすうの両方りょうほうが変数へんすう	対数微分たいすうびぶん	正せいの範囲はんいまたは絶対値ぜったいちを確認かくにんする

典型てんけいの誤用ごよう

第一だいいちに、 $(f g)^{'} = f^{'} g^{'}$ としてはならない。積せきでは二ふたつの因子いんしが同時どうじに変化へんかするため、 $f^{'} g + f g^{'}$ が必要ひつようである。

第二だいにに、 $[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dfrac\")")] d d x f (g (x)) = f^{'} (g (x))$ で停止ていししてはならない。内側うちがわの変化率へんかりつ $g^{'} (x)$ が欠落けつらくすると、合成ごうせいの変化へんかを過小評価かしょうひょうかする。

第三だいさんに、 $[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dfrac\")")] d d x \ln x = 1 / x$ は $x > 0$ の実数じっすう対数たいすうで成立せいりつする。負ふの範囲はんいを含ふくむ計算けいさんでは $\ln | x |$ や複素対数ふくそたいすうの扱あつかいが問題もんだいになる。

どこまで成立せいりつするか

このページの規則きそくは、対象たいしょうの関数かんすうが該当点がいとうてんで微分可能びぶんかのうであることを前提ぜんていとする。分母ぶんぼが 0 になる点てん、逆関数ぎゃくかんすうの微分びぶんで $f^{'} = 0$ となる点てん、対数たいすうが定義ていぎされない点てんでは、公式こうしきを機械的きかいてきに適用てきようしてはならない。

多変数微積分たへんすうびせきぶんでは、連鎖律れんさりつはヤコビ行列ぎょうれつの積せきとして一般化いっぱんかされる。微分方程式びぶんほうていしきでは、これらの微分公式びぶんこうしきが方程式ほうていしきの型判定かたはんていと変数変換へんすうへんかんの基盤きばんになる。

演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/calculus/微分法と導関数計算-基本演習.n.md