三角関数さんかくかんすうの加法定理かほうていり

date2026-03-28description三角関数の加法定理を、回転の合成と角度の和の見方から整理し、倍角・半角・合成公式の出発点として説明します。prerequisites三角関数 / 単位円の基本 / 座標の回転の感覚type講義statusactive

mathtrigonometryhighschoollecture

導入どうにゅう

この講義こうぎで最重要さいじゅうようなのは、加法定理かほうていりを暗記あんきするのでなく、「角度かくどを足たす」と座標ざひょうがどう変かわるかを記述きじゅつした式しきだと見みることです。

三角関数さんかくかんすうでつまずきやすいのは、 $\sin (α + β)$ や $\cos (α + β)$ の式しきが突然とつぜん現あらわれて、なぜその形かたちになるのかが分わからないことです。この講義こうぎでは、回転かいてんの合成ごうせいからその意味いみを押おさえます。

加法定理かほうていりAddition formulas とは、

\sin (α + β), \cos (α + β)

を $\sin α, \cos α, \sin β, \cos β$ で表あらわす公式こうしきです。

まず単位円たんいえんで 1 回かいの回転かいてんを座標ざひょうとして見みます。そのあと、角度かくど $α$ の回転かいてんと $β$ の回転かいてんを続つづけると、全体ぜんたいでは $α + β$ の回転かいてんになることを使つかいます。

回転かいてんを 2 回かい続つづけると、結局けっきょくは角度かくどを足たした 1 回かいの回転かいてんです。だから $α + β$ の三角関数さんかくかんすうは、 $α$ と $β$ それぞれの情報じょうほうから作つくれるはずです。これを式しきにしたものが加法定理かほうていりです。

単位円たんいえんで角度かくど $θ$ に対応たいおうする点てんは

(\cos θ, \sin θ)

です。

回転かいてんの合成ごうせいを座標ざひょうで追おうと、

R_{β} = (\begin{matrix} \cos β & - \sin β \\ \sin β & \cos β \end{matrix})

であり、角度かくど $α$ の点てん

(\begin{matrix} \cos α \\ \sin α \end{matrix})

をさらに $β$ だけ回転かいてんさせると

R_{β} (\begin{matrix} \cos α \\ \sin α \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos β \cos α - \sin β \sin α \\ \sin β \cos α + \cos β \sin α \end{matrix})

になります。左辺さへんは角度かくど $α + β$ の点てんでもあるから、

\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β

\sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β

を得えます。

$β = α$ と置おけば倍角公式ばいかくこうしきが出でます。さらに $α + β, α - β$ を組くみ合あわせると積和せきわ・和積わせきの公式こうしきへつながります。つまり加法定理かほうていりは、その後あとの三角関数さんかくかんすうの公式こうしきの出発点しゅっぱつてんです。

加法定理かほうていりは、回転かいてんを 2 回かい続つづけると角度かくどの和わの回転かいてんになる、という幾何きかの事実じじつを座標ざひょうで書かいたものです。

回転行列かいてんぎょうれつの積せきを計算けいさんすると加法定理かほうていりが出でます。この見方みかたでは、三角関数さんかくかんすうは回転かいてんという線形変換せんけいへんかんの成分せいぶんだと分わかります。

e^{i (α + β)} = e^{i α} e^{i β}

と

e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ

を使つかって実部じつぶと虚部きょぶを比くらべても加法定理かほうていりが出でます。この見方みかたの利点りてんは、角度かくどの和わが指数法則しすうほうそくとして一気いっきに書かけることです。

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β