複素数ふくそすうと複素平面ふくそへいめん

date2026-04-01description複素数を平面上の回転・拡大として定義し直し、極形式・オイラーの公式・ド・モアブルの定理・代数学の基本定理を整理する。prerequisites二次方程式の解の公式 / 三角関数type講義statusactive

mathalgebrahighschoolundergraduatelecture

導入どうにゅう

この講義こうぎの核心かくしんは、複素数ふくそすうとは「平面上へいめんじょうの点てんに乗法じょうほうを与あたえたもの」であり、掛かけ算ざんが「拡大かくだいと回転かいてんの合成ごうせい」を意味いみするという見方みかただ。

「 $i^{2} = - 1$ になる不思議ふしぎな数すう」という見方みかたは本質ほんしつを隠かくす。 $i$ を掛かけることは「90° 回転かいてんさせる操作そうさ」であり、 $i^{2}$ が $- 1$ になるのは「90° を 2 回かいで 180° = $- 1$ （実軸じくじくの反対側はんたいがわ）」になるからだ。この見方みかたから加法かほうは平行移動へいこういどう、乗法じょうほうは回転かいてんと拡大かくだい、オイラーの公式こうしきは指数しすうと三角関数さんかくかんすうの統一とういつとして自然しぜんに理解りかいできる。

用語ようごと定義ていぎ

複素数ふくそすうComplex number

$a, b \in R$ 、 $i^{2} = - 1$ として $z = a + b i$ の形かたちの数すうを複素数ふくそすうComplex numberという。 $a = R e (z)$ （実部じつぶ）、 $b = I m (z)$ （虚部きょぶ）。

共役複素数きょうやくふくそすうComplex conjugate・絶対値ぜったいちModulus・偏角へんかくArgument

\bar{z} = a - b i, | z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}, \arg z = θ ただし \tan θ = b / a

絶対値ぜったいちは原点げんてんからの距離きょり、偏角へんかくは実軸じっくからの角度かくどを表あらわす。

方針ほうしん

代数的だいすうてき計算けいさん（直交ちょっこう座標ざひょう $a + b i$ ）と幾何的きかてき見方みかた（平面へいめんの点てん）の対応たいおうを確認かくにんする
極形式きょくけいしき（偏角へんかくと絶対値ぜったいち）で乗法じょうほうの幾何的きかてき意味いみを明確めいかくにする
オイラーの公式こうしきでこれらを統一とういつする

厳密げんみつな説明せつめい

1. 基本計算きほんけいさん

$z_{1} = a + b i$ 、 $z_{2} = c + d i$ として：

z_{1} + z_{2} = (a + c) + (b + d) i

z_{1} z_{2} = (a c - b d) + (a d + b c) i

z_{1} \overline{z_{1}} = a^{2} + b^{2} = | z_{1} |^{2}

割わり算ざん： $z \neq 0$ のとき $[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dfrac\")")] 1 z = [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dfrac\")")] \bar{z} | z |^{2}$ 。分母ぶんもを実数じっすう化かするために共役きょうやくで有理化ゆうりかする。

2. 極形式きょくけいしきと乗法じょうほうの幾何きか

$| z | = r$ 、 $\arg z = θ$ として：

z = r (\cos θ + i \sin θ) = r e^{i θ}

乗法じょうほうの極形式きょくけいしき：

z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} e^{i (θ_{1} + θ_{2})}

すなわち 「絶対値ぜったいちは積せき、偏角へんかくは和わ」 — $z$ に $w = s e^{i ϕ}$ を掛かけると $s$ 倍ばい拡大かくだいして $ϕ$ 回転かいてんする。

例れい： $i = e^{i π / 2}$ なので $i$ を掛かける = 90° 回転かいてん。 $- 1 = e^{i π}$ なので $i^{2} = e^{i π} = - 1$ 。

3. オイラーの公式こうしき

e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ

特別とくべつな値あたい：

e^{i π} + 1 = 0 （オイラーの 等 式 / と う し き] ） [PARSE ERROR: Undefined("RBrace")]

e^{i π / 2} = i, e^{i π} = - 1, e^{2 π i} = 1

三角関数さんかくかんすうの表現ひょうげん：

\cos θ = \frac{e^{i θ} + e^{- i θ}}{2}, \sin θ = \frac{e^{i θ} - e^{- i θ}}{2 i}

4. ド・モアブルの定理ていり

$n$ を整数せいすうとして：

(r e^{i θ})^{n} = r^{n} e^{i n θ} ⟹ (\cos θ + i \sin θ)^{n} = \cos n θ + i \sin n θ

応用おうよう（ $n$ 乗根じょうこん）： $z^{n} = 1$ の解かいは $e^{2 π i k / n}$ （ $k = 0, 1, \dots, n - 1$ ）— 複素平面ふくそへいめんで正せい $n$ 角形かくけいの頂点ちょうてんを形成けいせいする。

例れい： $z^{3} = 1$ の解かいは $1$ 、 $e^{2 π i / 3} = - 1 / 2 + \sqrt{3} i / 2$ 、 $e^{4 π i / 3} = - 1 / 2 - \sqrt{3} i / 2$ 。

5. 代数学だいすうがくの基本定理きほんていり

$n$ 次じ複素係数ふくそけいすう多項式たこうしきは複素数ふくそすうの範囲はんいでちょうど $n$ 個この根ね（重複ちょうふく度数どすうを込こみ）を持もつ。

これは $C$ が代数的閉体だいすうてきへいたいAlgebraically closed fieldであることを示しめす。実数じっすう係数けいすう多項式たこうしきでは実数解じっすうかいと複素数解ふくそすうかいが共役きょうやくのペアで現あらわれる。

6. 複素数ふくそすうの応用おうよう

分野ぶんや	使つかい方かた
信号処理しんごうしょり	フーリエ変換へんかんで $e^{i ω t}$ が基底きてい
電気回路でんきかいろ	インピーダンス（交流こうりゅう回路かいろを複素数ふくそすうで記述きじゅつ）
微分方程式びぶんほうていしき	$e^{i ω t}$ の実部じつぶが $\cos ω t$ 、虚部きょぶが $\sin ω t$
幾何きか	平面へいめんの回転かいてん・相似変換そうじへんかんを乗法じょうほうで表現ひょうげん

見分みわけ方かた

平面へいめんの回転かいてん・拡大かくだいが出でた → 乗法じょうほう（極形式きょくけいしき）
$x^{2} + 1 = 0$ など実数解じっすうかいが存在そんざいしない方程式ほうていしき → $C$ で解とく
$\cos n θ$ 、 $\sin n θ$ の公式こうしき → ド・モアブルの定理ていり
周期関数しゅうきかんすうの解析かいせき → $e^{i ω t}$ で置換ちかんして計算けいさん

どこまで成なり立たつか

$C$ は代数的閉体だいすうてきへいたいであり、すべての多項式たこうしきが根ねを持もつ意味いみで「最終的さいしゅうてきな数すうの体系たいけい」である。四元数しげんすう $H$ （ $a + b i + c j + d k$ ）は積せきが可換かかんでない 4 次元じげんの体系たいけいであり、3 次元じげん回転かいてんを記述きじゅつする。複素解析ふくそかいせきでは正則関数せいそくかんすう（複素微分可能ふくそびぶんかのうな関数かんすう）がきわめて豊ゆたかな構造こうぞうを持もつことが示しめされる。

最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] z = r e^{i θ} = r (\cos θ + i \sin θ), z \bar{z} = | z |^{2}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ （オイラーの 公 式 / こ う し き] ） [PARSE ERROR: Undefined("RBrace")]

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] (\cos θ + i \sin θ)^{n} = \cos n θ + i \sin n θ （ド・モアブル）

一言ひとことでいうと

複素数ふくそすうの乗法じょうほうは「拡大かくだいと回転かいてんの合成ごうせい」であり、 $i$ を掛かけることは 90° 回転かいてんに過すぎない—オイラーの公式こうしき $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ はこの見方みかたを指数しすうと三角関数さんかくかんすうを貫つらぬく統一的とういつてきな記法きほうへ昇華しょうかする。