二次方程式にじほうていしきの解かいの公式こうしき

date2026-03-27type講義statusactive

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導入どうにゅう

二次方程式にじほうていしきの解かいの公式こうしきで最重要さいじゅうようなのは、平方完成へいほうかんせいをして、左辺さへんを 1 つの二乗にじょうの形かたちに変形へんけいすることです。

公式こうしきだけを暗記あんきすると、なぜ $- b$ や $4 a c$ や $2 a$ が現あらわれるのかが見みえません。しかし平方完成へいほうかんせいの手順てじゅんを追おえば、公式こうしきは突然とつぜん出でてくるものではなく、二次にじ式しきを一次いちじ式しきの二乗にじょうへ変かえる結果けっかだと分わかります。

用語ようごと定義ていぎ

まず主役しゅやくになる用語ようごをそろえます。

二次方程式にじほうていしきQuadratic equation とは、 $a x^{2} + b x + c = 0$ の形かたちの方程式ほうていしきです。ただし $a \neq 0$ です。

平方完成へいほうかんせいCompleting the square とは、 $x^{2} + p x$ のような式しきを ${(x + \frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2}$ の形かたちに直なおす操作そうさです。

判別式はんべつしきDiscriminant とは、二次方程式にじほうていしきの解かいの様子ようすを決きめる $D = b^{2} - 4 a c$ のことです。

方針ほうしん

$a x^{2} + b x + c = 0$ をそのまま見みても、 $x$ を直接ちょくせつ取とり出だすのは難むずかしいです。そこで、まず $a$ で割わって $x^{2}$ の係数けいすうを 1 にそろえます。

そのうえで $x^{2} + \frac{b}{a} x$ を 1 つの二乗にじょうにしたい、と考かんがえます。なぜなら、二乗にじょうの形かたちになれば平方根へいほうこんを使つかって $x$ を取とり出だせるからです。これが平方完成へいほうかんせいを思おもいつく理由りゆうです。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

二次方程式にじほうていしきの難むずかしさは、 $x$ が 2 乗じょうと 1 乗じょうの両方りょうほうで現あらわれることにあります。そこで「1 つの二乗にじょうに見みえる形かたちへ持もち込こむ」ことを狙ねらいます。

代数的だいすうてきには平方完成へいほうかんせいですが、図形的ずけいてきには「正方形せいほうけいを完成かんせいさせる」と見みることもできます。だから ${(\frac{b}{2 a})}^{2}$ を足たすのは、ただの手筋てすじではなく、不足ふそくしている四角しかくを埋うめる発想はっそうです。

厳密げんみつな説明せつめい

1. まず係数けいすうをそろえる

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)

を $a$ で割わると

x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0

です。したがって

x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}

となります。

2. 平方完成へいほうかんせいする

ここで $x^{2} + \frac{b}{a} x$ を 1 つの二乗にじょうにしたいので、 ${(\frac{b}{2 a})}^{2}$ を足たして引ひきます。すると

x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}

です。

左辺さへんは

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2}

となります。右辺うへんは通分つうぶんして

- \frac{4 a c}{4 a^{2}} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}

です。したがって

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}

を得えます。

3. 平方根へいほうこんを取とる

両辺りょうへんの平方根へいほうこんを取とると

x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

です。よって

x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

となり、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

を得えます。これが二次方程式にじほうていしきの解かいの公式こうしきです。

4. 判別式はんべつしきの意味いみ

公式こうしきを見みると、平方根へいほうこんの中身なかみ $b^{2} - 4 a c$ が解かいの様子ようすを決きめています。

$b^{2} - 4 a c > 0$ なら、異ことなる 2 つの実数解じっすうかいを持もちます。
$b^{2} - 4 a c = 0$ なら、重解じゅうかいを持もちます。
$b^{2} - 4 a c < 0$ なら、実数解じっすうかいを持もちません。

したがって $D = b^{2} - 4 a c$ を判別式はんべつしきと呼よびます。

5. 別べつの見方みかた

対称式たいしょうしきの立場たちばでは、解かいの和わと積せきが

α + β = - \frac{b}{a}, α β = \frac{c}{a}

で与あたえられます。そこから解かいそのものを復元ふくげんするには、和わと積せきを持もつ 2 つの数すうを求もとめる問題もんだいへ戻もどせばよい、と見みることもできます。

どこまで成なり立たつか

この公式こうしきは、 $a \neq 0$ である二次方程式にじほうていしきにはいつでも使つかえます。

ただし、実数じっすうの範囲はんいだけで考かんがえると、 $D < 0$ のときは平方根へいほうこんが実数じっすうにならないので、解かいを実数じっすうとしては書かけません。

また、公式こうしきを使つかわなくても因数分解いんすうぶんかいできる場合ばあいはあります。そのときでも、後うしろでは同おなじ構造こうぞうが働はたらいています。

最終形さいしゅうけい

二次方程式にじほうていしき

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)

の解かいは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

です。

また、判別式はんべつしき

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] D = b^{2} - 4 a c

により解かいの個数こすうと種類しゅるいが分わかります。

一言ひとことでいうと

解かいの公式こうしきは、平方完成へいほうかんせいの結果けっかです。
平方完成へいほうかんせいを思おもいつく理由りゆうは、二次にじ式しきを二乗にじょうの形かたちに変かえて平方根へいほうこんを使つかいたいからです。
判別式はんべつしき $b^{2} - 4 a c$ は、そのまま解かいの様子ようすを教おしえてくれます。