三角関数さんかくかんすう

正弦せいげんSine・余弦よげんCosine・正接せいせつTangent

単位円たんいえん $x^2+y^2=1$x^2 + y^2 = 1 上うえの角かく $\theta$\theta の点てんを $(\cos \theta ,\sin \theta )$(\cos\theta, \sin\theta) と定義ていぎする。

この定義ていぎから直接ちょくせつ：

1. 基本値きほんち一覧いちらん

記憶法きおくほう：$\sin \theta$\sin\theta の分子ぶんしは $\sqrt{0},\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4}$\sqrt{0}, \sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4} を $2$2 で割わった値あたい。

2. 対称性たいしょうせいと周期性しゅうきせい

• 偶奇性ぐうきせい：$\cos (-\theta )=\cos \theta$\cos(-\theta) = \cos\theta（偶関数ぐうかんすう）、$\sin (-\theta )=-\sin \theta$\sin(-\theta) = -\sin\theta（奇関数きかんすう）
• 周期しゅうき：$\sin (\theta +2\pi )=\sin \theta$\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta、$\cos (\theta +2\pi )=\cos \theta$\cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta、$\tan (\theta +\pi )=\tan \theta$\tan(\theta + \pi) = \tan\theta
• 象限しょうげんによる符号ふごう：第一だいいち象限しょうげん（両りょう正せい）→ 第二だいに（$\sin$\sin 正せい）→ 第三だいさん（両りょう負ふ）→ 第四だいし（$\cos$\cos 正せい）

3. 加法定理かほうていりの導出どうしゅつ（回転行列かいてんぎょうれつ）

角度かくど $\varphi$\phi の回転行列かいてんぎょうれつは、$(1,0)\mapsto (\cos \varphi ,\sin \varphi )$(1,0) \mapsto (\cos\phi, \sin\phi)、$(0,1)\mapsto (-\sin \varphi ,\cos \varphi )$(0,1) \mapsto (-\sin\phi, \cos\phi) から：

角度かくど $\theta$\theta の点てんをさらに $\varphi$\phi 回転かいてんさせると：

よって：

この導出どうしゅつは「加法定理かほうていりは回転かいてんの合成ごうせいを言葉ことばにしたもの」という理解りかいを与あたえる。

4. オイラーの公式こうしき

証明しょうめい（テイラー展開てんかい）：$e^{i\theta }$e^{i\theta} を展開てんかいし実部じつぶ・虚部きょぶを $\cos \theta$\cos\theta、$\sin \theta$\sin\theta の展開てんかいと比較ひかくして一致いっちすることを確認かくにんする。

応用おうよう：$e^{i(\theta +\varphi )}=e^{i\theta }{e}^{i\varphi }$e^{i(\theta+\phi)} = e^{i\theta} e^{i\phi} を展開てんかいすると加法定理かほうていりが一行いちぎょうで得えられる。また $e^{i\pi }+1=0$e^{i\pi} + 1 = 0（オイラーの等式とうしき）。

5. 三角関数さんかくかんすうの微分びぶん

導出どうしゅつ：$\underset{h\to 0}{\lim }\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dfrac")")]}\sin hh=1$\lim_{h \to 0} \dfrac{\sin h}{h} = 1 と加法定理かほうていりから。${\sin }^{\prime }\left(x\right)=\cos x$\sin'(x) = \cos x は「$\sin$\sin が $\cos$\cos と $90\mathrm{°}$90° 位相いそうがずれている」という波なみの見方みかたと一致いっちする。

6. 逆三角関数ぎゃくさんかくかんすう

逆三角関数ぎゃくさんかくかんすうの微分びぶんは $\int \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dfrac")")]}1\sqrt{1-x^2}dx=\arcsin x+C$\int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + C など積分せきぶんの公式こうしきと表裏一体ひょうりいったいである。