図形ずけいベクトルと内積ないせき

date2026-04-22description図形ベクトルの内積を、長さ・角度・射影を成分計算へ翻訳する道具として整理する講義である。prerequisitesベクトルとは何か / 三角関数type講義statusactive

mathhighschoolvectorlecture

導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、内積ないせきを、2 本ほんのベクトルの向むきの一致度いっちどを数値化すうちかし、角度かくどや垂直すいちょくを成分計算せいぶんけいさんへ翻訳ほんやくする道具どうぐとして理解りかいすることである。

図形ずけいでは角度かくどや垂直すいちょくが自然しぜんに出現しゅつげんする。しかし計算けいさんでは、角度かくどをそのまま扱あつかうより、成分せいぶんの積せきの和わへ変換へんかんしたほうが判定はんていしやすい。内積ないせきはこの変換へんかんを担当たんとうする。

data/lecture/math/vector/ベクトルとは何か-講義.n.md

用語ようごと定義ていぎ

内積ないせきInner product とは、2 つのベクトル $a, b$ と、そのなす角かく $θ$ に対たいして

a \cdot b = | a | | b | \cos θ

で定義ていぎされる量りょうである。

平面へいめんの成分表示せいぶんひょうじで $a = (a_{1}, a_{2})$ 、 $b = (b_{1}, b_{2})$ なら、

a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}

である。

方針ほうしん

図形的ずけいてきには、内積ないせきを「射影しゃえいした長ながさを掛かける量りょう」として確認かくにんする。計算けいさんでは、成分せいぶんどうしの積せきの和わとして処理しょりする。最後さいごに、垂直条件すいちょくじょうけん、長ながさ、角度かくどの式しきへ接続せつぞくする。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

内積ないせきは、2 本ほんのベクトルがどれだけ同おなじ方向ほうこうを向むくかを測定そくていする。同おなじ向むきなら正せいで大おおきく、垂直すいちょくなら 0、反対向はんたいむきなら負ふになる。

射影しゃえいで解釈かいしゃくすると、 $a \cdot b$ は「 $a$ の長ながさ」と「 $b$ の $a$ 方向ほうこうへの影かげの長ながさ」の積せきである。影かげの長ながさが $| b | \cos θ$ であるため、 $| a | | b | \cos θ$ が現あらわれる。

厳密げんみつな説明せつめい

$a = (a_{1}, a_{2})$ 、 $b = (b_{1}, b_{2})$ とする。成分せいぶんによる内積ないせきは

a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}

である。長ながさは

| a | = \sqrt{a \cdot a}

で得えられる。なぜなら、

a \cdot a = a_{1^{2}} + a_{2^{2}} = | a |^{2}

ためである。

垂直すいちょくなら $θ = 90^{\circ}$ であり、 $\cos θ = 0$ となる。したがって

a ⊥ b ⟺ a \cdot b = 0

である。角度かくどを求もとめる場合ばあいは、 $a, b \neq 0$ のとき

\cos θ = \frac{a \cdot b}{| a | | b |}

を用もちいる。

具体例ぐたいれい

a = (1, 2), b = (2, - 1)

なら

a \cdot b = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (- 1) = 0

である。したがって $a$ と $b$ は垂直すいちょくである。図示ずししなくても、成分計算せいぶんけいさんだけで直角ちょっかくを判定はんていできる。

別べつの観点かんてん

幾何的きかてきには、内積ないせきは射影しゃえいと角度かくどを測定そくていする量りょうである。代数的だいすうてきには、対応たいおうする成分せいぶんどうしを掛かけて加算かさんする演算えんざんである。この 2 つの観点かんてんを接続せつぞくすると、図形条件ずけいじょうけんを方程式ほうていしきへ変換へんかんできる。

見分みわけ方かた

角度かくど、垂直すいちょく、長ながさが問とわれる場合ばあい、内積ないせきを検討けんとうする。
平行へいこうそのものを判定はんていする場合ばあいは、定数倍ていすうばいの関係かんけいのほうが直接的ちょくせつてきである。
複素ふくその内積ないせきでは共役きょうやくが関与かんよするため、この図形的ずけいてきな角度公式かくどこうしきをそのまま一般化いっぱんかしない。

どこまで成なり立たつか

この講義こうぎは実平面じつへいめんや実空間じつくうかんの図形ずけいベクトルを前提ぜんていにする。大学数学だいがくすうがくでは、内積ないせきは一般いっぱんの内積空間ないせきくうかんへ拡張かくちょうされる。ただし複素内積ふくそないせきでは角度かくどの扱あつかいに注意ちゅういが必要ひつようである。

data/lecture/math/linear-algebra/内積空間の基本-講義.n.md

最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a \cdot b = | a | | b | \cos θ

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a ⊥ b ⟺ a \cdot b = 0

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] | a | = \sqrt{a \cdot a}

一言ひとことでいうと

内積ないせきは、角度かくど・垂直すいちょく・長ながさを成分計算せいぶんけいさんへ翻訳ほんやくする道具どうぐである。