点てんとベクトルの違ちがい

導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、点てんは場所ばしょであり、ベクトルは移動量いどうりょうや差さである、という区別くべつを最初さいしょに固定こていすることである。

座標ざひょうを使つかうと、点てんもベクトルも $$(2,3)$$(2,3) のように表示ひょうじされる。そのため両者りょうしゃを同一視どういつししやすい。しかし意味いみは異ことなる。点てんは空間内くうかんないの位置いちであり、ベクトルは点てんから点てんへの変位へんいである。

用語ようごと定義ていぎ

点てんPoint とは、空間くうかんの場所ばしょを表あらわす対象たいしょうである。

ベクトルVector とは、移動量いどうりょうや差さを表あらわす対象たいしょうである。

位置いちベクトルPosition vector とは、原点げんてん $$O$$O から点てん $$P$$P へ向むかうベクトル $$\overrightarrow{OP}$$\overrightarrow{OP} である。

方針ほうしん

まず「点てんどうしは加法かほうしない」「点てんとベクトルは加法かほうできる」「点てんどうしの差さはベクトルである」という 3 規則きそくを確認かくにんする。その後あとで位置いちベクトルが原点げんてんの選択せんたくに依存いぞんすることを確認かくにんする。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

点てん $$P$$P は場所ばしょである。ベクトル $$v$$v は移動量いどうりょうである。したがって、点てんにベクトルを加くわえる $$P+v$$P+v は「点てん $$P$$P から $$v$$v だけ移動いどうした点てん」として解釈かいしゃくできる。

一方いっぽう、点てんどうしを $$P+Q$$P+Q と加くわえる操作そうさには、基準きじゅんなしでは自然しぜんな意味いみがない。これに対たいして $$Q-P$$Q-P は、「$$P$$P から $$Q$$Q への移動量いどうりょう」としてベクトルを与あたえる。

厳密げんみつな説明せつめい

点てんの集合しゅうごうを $$E$$E、移動量いどうりょうのベクトル空間くうかんを $$V$$V とする。点てん $$P\in E$$P\in E とベクトル $$v\in V$$v\in V に対たいして、$$P+v$$P+v は点てんである。また 2 点てん $$P,Q\in E$$P,Q\in E に対たいして、$$Q-P$$Q-P はベクトルである。

この構造こうぞうをアフィン空間くうかんAffine spaceという。線形空間せんけいくうかんでは原点げんてんが特別とくべつに指定していされるが、アフィン空間くうかんでは原点げんてんを選択せんたくする前まえの点てんの関係かんけいを扱あつかう。

具体例ぐたいれい

座標平面ざひょうへいめんで $$P=(1,2)$$P=(1,2)、$$Q=(4,6)$$Q=(4,6) とする。このとき

は $$P$$P から $$Q$$Q へのベクトルである。これは点てんではなく移動量いどうりょうである。

原点げんてん $$O=(0,0)$$O=(0,0) を選択せんたくすれば、$$P$$P の位置いちベクトルは

である。同一どういつの座標ざひょう $$(1,2)$$(1,2) であっても、文脈ぶんみゃくにより点てんを表あらわす場合ばあいと、原点げんてんからのベクトルを表あらわす場合ばあいがある。

よくある誤解ごかい

• 点てんとベクトルを同一視どういつししない。座標ざひょうが同形どうけいであっても意味いみが異ことなる。
• 点てんどうしの加法かほうは基準きじゅんなしには定義ていぎしない。
• 位置いちベクトルは原点げんてんの選択せんたくに依存いぞんする。点てんどうしの差さは原点げんてんを変更へんこうしても変化へんかしない。

どこまで成なり立たつか

座標ざひょうを選択せんたくすると、点てんもベクトルも数すうの組くみで表示ひょうじできる。しかし、座標表示ざひょうひょうじが似にていることと、対象たいしょうが同一どういつであることは別べつである。図形問題ずけいもんだいでは、この区別くべつが中点ちゅうてん、重心じゅうしん、平行移動へいこういどうの理解りかいを安定あんていさせる。

最終形さいしゅうけい

一言ひとことでいうと

• 点てんは場所ばしょ、ベクトルは移動量いどうりょうであり、位置いちベクトルは原点げんてんを選択せんたくして点てんをベクトルで表示ひょうじしたものである。

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