ベクトルポータル

導入どうにゅう

このポータルで重要じゅうようなのは、ベクトルを 1 種類しゅるいの矢印やじるしとして固定こていせず、代数的対象だいすうてきたいしょう、幾何的対象きかてきたいしょう、三次元応用さんじげんおうようの 3 層そうで整理せいりすることである。

線形代数せんけいだいすうでは、ベクトルは和わとスカラー倍ばいを受うける計算対象けいさんたいしょうである。幾何きかでは、ベクトルは点てんどうしの差さや移動量いどうりょうを表現ひょうげんする。三次元さんじげんでは、内積ないせき、外積がいせき、スカラー三重積さんじゅうせきにより、長ながさ、角度かくど、面積めんせき、体積たいせき、向むきを記述きじゅつする。

前提ぜんていと射程しゃてい

このポータルでは、まず $$R^n$$\mathbb R^n と $$C^n$$\mathbb C^n の成分せいぶんベクトルを基礎きそにする。そのうえで、点てんとベクトルの区別くべつ、位置いちベクトル、外積がいせき、体積たいせきへ進行しんこうする。

ここで扱あつかうベクトルは、線形代数せんけいだいすう、図形ずけい、物理ぶつり、解析かいせきへ接続せつぞくする共通語きょうつうごである。

A. 線形代数せんけいだいすうコア

この経路けいろでは、ベクトルを数すうの列れつとして操作そうさし、線形結合せんけいけつごう、張はる空間くうかん、一次独立いちじどくりつ、階数かいすうへ接続せつぞくする。

B. 幾何きか・アフィン

この経路けいろでは、点てんとベクトルを区別くべつする。点てんは場所ばしょであり、ベクトルは差さや移動量いどうりょうである。この区別くべつにより、中点ちゅうてん、内分点ないぶんてん、重心じゅうしんを係数けいすうつき平均へいきんとして統一とういつできる。

C. 三次元さんじげん・解析かいせき・物理ぶつりへの橋渡はしわたし

この経路けいろでは、内積ないせきで長ながさと角度かくどを、外積がいせきで面積めんせきと法線方向ほうせんほうこうを、スカラー三重積さんじゅうせきで符号付体積ふごうつきたいせきを記述きじゅつする。

推奨順序すいしょうじゅんじょ

1. ベクトルとは何なにかを確認かくにんする。
2. 零れいベクトル、逆ぎゃくベクトル、標準基底ひょうじゅんきていを確認かくにんする。
3. 行ぎょうベクトルと列れつベクトルを区別くべつする。
4. 線形結合せんけいけつごうと張はる空間くうかんへ進行しんこうする。
5. 点てんとベクトルの違ちがいを確認かくにんし、位置いちベクトルとアフィン結合けつごうへ進行しんこうする。
6. 内積ないせき、外積がいせき、スカラー三重積さんじゅうせきで三次元さんじげんの幾何きかへ接続せつぞくする。

一言ひとことでいうと

• ベクトルは、線形代数せんけいだいすうでは計算対象けいさんたいしょう、幾何きかでは点てんの差さ、三次元さんじげんでは長ながさ・面積めんせき・体積たいせきを測定そくていする道具どうぐである。