零れいベクトル・逆ぎゃくベクトル・標準基底ひょうじゅんきてい

導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、零れいベクトル、逆ぎゃくベクトル、標準基底ひょうじゅんきていを、計算けいさんの記号きごうではなく、ベクトル空間くうかんの基準きじゅんとして理解りかいすることである。

零れいベクトルは加法かほうの基準点きじゅんてんであり、逆ぎゃくベクトルは打消うちけしの対象たいしょうである。標準基底ひょうじゅんきていは、成分表示せいぶんひょうじを支ささえる基準方向きじゅんほうこうである。

用語ようごと定義ていぎ

零れいベクトルZero vector とは、どのベクトル $$v$$v に加くわえても $$v$$v を変化へんかさせないベクトルである。

逆ぎゃくベクトルAdditive inverse とは、ベクトル $$v$$v に加くわえると零れいベクトルになるベクトル $$-v$$-v である。

標準基底ひょうじゅんきていStandard basis とは、$$R^n$$\mathbb R^n で 1 つの成分せいぶんだけが 1、他ほかが 0 のベクトルからなる基底きていである。

方針ほうしん

まず零れいベクトルと逆ぎゃくベクトルを加法かほうの構造こうぞうとして確認かくにんする。つぎに標準基底ひょうじゅんきていにより、任意にんいの成分せいぶんベクトルを基準方向きじゅんほうこうの線形結合せんけいけつごうとして表示ひょうじする。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

零れいベクトルは「移動いどうしない移動量いどうりょう」である。逆ぎゃくベクトルは「元もとの移動いどうを打うち消けす移動量いどうりょう」である。

標準基底ひょうじゅんきていは、座標軸ざひょうじくに沿そった最小単位さいしょうたんいの方向ほうこうである。平面へいめんでは

が標準基底ひょうじゅんきていである。

厳密げんみつな説明せつめい

$$R^n$$\mathbb R^n の零れいベクトルは

である。$$v=(v_1,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]},v_n{)}^T$$v=(v_1,\dots,v_n)^T の逆ぎゃくベクトルは

である。したがって

が成立せいりつする。

標準基底ひょうじゅんきていを $$e_1,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]},e_n$$e_1,\dots,e_n とすると、任意にんいの $$v=(v_1,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]},v_n{)}^T$$v=(v_1,\dots,v_n)^T は

と表示ひょうじできる。つまり、成分せいぶん $$v_i$$v_i は標準基底ひょうじゅんきてい $$e_i$$e_i をどれだけ混合こんごうするかを示しめす係数けいすうである。

よくある誤解ごかい

• 零れいベクトルは数すうの 0 とは同一どういつではない。各成分かくせいぶんが 0 のベクトルである。
• 逆ぎゃくベクトルは逆数ぎゃくすうではない。加法かほうを打消うちけす対象たいしょうである。
• 標準基底ひょうじゅんきていは唯一ゆいいつの基底きていではない。標準ひょうじゅんという名称めいしょうは、座標表示ざひょうひょうじで通常つうじょう採用さいようされる基準きじゅんを意味いみする。

どこまで成なり立たつか

零れいベクトルと逆ぎゃくベクトルは、一般いっぱんのベクトル空間くうかんにも存在そんざいする。標準基底ひょうじゅんきていは $$R^n$$\mathbb R^n や $$C^n$$\mathbb C^n のように成分表示せいぶんひょうじが先さきに与あたえられた空間くうかんで自然しぜんに定義ていぎされる。

最終形さいしゅうけい

一言ひとことでいうと

• 零れいベクトルは加法かほうの基準きじゅん、逆ぎゃくベクトルは打消うちけし、標準基底ひょうじゅんきていは座標表示ざひょうひょうじの基準方向きじゅんほうこうである。

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