行ぎょうベクトルと列れつベクトル

導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、行ぎょうベクトルと列れつベクトルは同おなじ成分せいぶんを持もっていても、行列積ぎょうれつせきの中なかでは異ことなる役割やくわりを持もつということである。

初学段階しょがくだんかいでは、横よこに記述きじゅつするか縦たてに記述きじゅつするかだけの違ちがいに感かんじられる。しかし行列ぎょうれつとの積せきでは、サイズ条件じょうけんと写像しゃぞうの向むきが変化へんかするため、区別くべつが必須ひっすである。

用語ようごと定義ていぎ

列れつベクトルColumn vector とは、成分せいぶんを縦たてに並ならべた $$n\times 1$$n\times 1 行列ぎょうれつである。

行ぎょうベクトルRow vector とは、成分せいぶんを横よこに並ならべた $$1\times n$$1\times n 行列ぎょうれつである。

方針ほうしん

まず形かたちとサイズを確認かくにんする。つぎに転置てんちにより行ぎょうベクトルと列れつベクトルが相互そうごに変換へんかんされることを確認かくにんする。最後さいごに、行列積ぎょうれつせきで左ひだりから掛かけるか、右みぎから掛かけるかの違ちがいを整理せいりする。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

列れつベクトルは、線形写像せんけいしゃぞうに入力にゅうりょくする座標ざひょうとして使用しようされることが多おおい。行列ぎょうれつ $$A$$A が $$m\times n$$m\times n なら、$$n\times 1$$n\times 1 の列れつベクトル $$x$$x に対たいして $$Ax$$Ax が定義ていぎされる。

行ぎょうベクトルは、線形形式せんけいけいしきや内積ないせきの表示ひょうじで出現しゅつげんすることが多おおい。たとえば $$y^{T}x$$y^Tx は、行ぎょうベクトルと列れつベクトルの積せきとして数すうを与あたえる。

厳密げんみつな説明せつめい

$$x$$x を $$n\times 1$$n\times 1 の列れつベクトル、$$A$$A を $$m\times n$$m\times n 行列ぎょうれつとする。このとき

は $$m\times 1$$m\times 1 の列れつベクトルである。内側うちがわのサイズ $$n$$n が一致いっちするためである。

一方いっぽう、$$x^T$$x^T は $$1\times n$$1\times n の行ぎょうベクトルである。$$x^{T}A$$x^TA を定義ていぎするには、$$A$$A が $$n\times m$$n\times m でなければならない。したがって、同一どういつの成分せいぶんであっても形かたちが変化へんかすると、掛かけられる相手あいても変化へんかする。

具体例ぐたいれい

なら

である。一方いっぽう、$$x^{T}A$$x^TA は

となり、結果けっかは行ぎょうベクトルである。$$Ax$$Ax と $$x^{T}A$$x^TA は同一どういつの操作そうさではない。

よくある誤解ごかい

• 行ぎょうベクトルと列れつベクトルは、見みた目めだけの違ちがいではない。サイズ条件じょうけんが異ことなる。
• 転置てんちは単たんなる整形せいけいではなく、$$n\times 1$$n\times1 と $$1\times n$$1\times n を交換こうかんする操作そうさである。
• 行列積ぎょうれつせきは可換かかんではないため、左右さゆうの位置いちを入替いれかえてはならない。

どこまで成なり立たつか

実数じっすうの行列ぎょうれつでは転置てんち $$T$$T を用もちいる。複素ふくその内積ないせきやユニタリ行列ぎょうれつでは、転置てんちだけでなく共役転置きょうやくてんち $$*$$* が必要ひつようになる。

最終形さいしゅうけい

一言ひとことでいうと

• 行ぎょうベクトルと列れつベクトルは、成分せいぶんではなく形かたちと作用さようの向むきによって区別くべつされる。

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