ベクトル解析かいせきの入口いりぐち

date2026-03-27descriptionベクトル解析を、スカラー場とベクトル場を微分して何が見えるかという観点から説明し、勾配・発散・回転の意味を丁寧に整理します。prerequisites偏微分と重積分 / ベクトルと内積 / 内積空間の基本type講義statusactive

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導入どうにゅう

この講義こうぎで最重要さいじゅうようなのは、ベクトル解析かいせきでは、数すうを返かえす関数かんすうとベクトルを返かえす関数かんすうを区別くべつし、その変化へんかを見みるために勾配こうばい・発散はっさん・回転かいてんという 3 つの道具どうぐを使つかうことです。

多変数たへんすうの関数かんすうを学まなんだあとで混乱こんらんしやすいのは、「偏微分へんびぶんは計算けいさんできるが、それが何なにを見みているのか」が見みえにくいことです。ここでは、場ばの変化へんかを読よむ言葉ことばとして勾配こうばい・発散はっさん・回転かいてんを整理せいりします。

用語ようごと定義ていぎ

スカラー場ばScalar field とは、各点かくてんに 1 つの数すうを対応たいおうさせる関数かんすうです。

ベクトル場ばVector field とは、各点かくてんに 1 つのベクトルを対応たいおうさせる関数かんすうです。

勾配こうばいGradient とは、スカラー場ば $f$ に対たいして

\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})

で定義ていぎされるベクトルです。

方針ほうしん

まず、なぜ偏微分へんびぶんを並ならべたものが勾配こうばいになるのかを見みます。そのあと、ベクトル場ばの広ひろがり具合ぐあいを発散はっさん、回まわる傾向けいこうを回転かいてんとして読よむ理由りゆうを整理せいりします。

data/lecture/math/calculus/偏微分と重積分-講義.n.md data/lecture/math/vector/ベクトルと内積-講義.n.md

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

たとえば温度おんどの分布ぶんぷ $f (x, y, z)$ を考かんがえると、一番いちばん急きゅうに温度おんどが上あがる向むきと、その増ふえ方かたの大おおきさをまとめたものが勾配こうばいです。

また、流体りゅうたいの速度場そくどばを考かんがえると、その点てんの近ちかくで湧わき出だしているか吸すい込こんでいるかを発散はっさんが、渦うずのように回まわろうとしているかを回転かいてんが表あらわします。

厳密げんみつな説明せつめい

1. なぜ勾配こうばいはこの定義ていぎか

微小びしょうな変位へんい $Δ r = (Δ x, Δ y, Δ z)$ に対たいして、 $f$ の変化量へんかりょうは 1 次じ近似きんじで

Δ f \approx \frac{\partial f}{\partial x} Δ x + \frac{\partial f}{\partial y} Δ y + \frac{\partial f}{\partial z} Δ z

です。これは

Δ f \approx \nabla f \cdot Δ r

と書かけます。つまり勾配こうばいは、「どちらへ少すこし動うごくとどれだけ値あたいが変かわるか」を 1 本ほんのベクトルにまとめたものとして自然しぜんに現あらわれます。

とくに単位たんいベクトル $u$ の向むきに微小びしょうに動うごくなら

Δ r = h u

なので、

Δ f \approx \nabla f \cdot (h u) = h (\nabla f \cdot u)

です。したがって方向微分ほうこうびぶんは

D_{u} f = \nabla f \cdot u

となります。つまり勾配こうばいは、方向微分ほうこうびぶんを全部ぜんぶまとめているベクトルです。

2. 発散はっさん

ベクトル場ば $F = (P, Q, R)$ に対たいして

\nabla \cdot F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}

を発散はっさんと呼よびます。これは、各方向かくほうこうの成分せいぶんがその方向ほうこうにどれだけ増ふえているかを足たし合あわせたもので、局所的きょくしょてきな湧わき出だしや吸すい込こみを測はかります。

この式しきが自然しぜんなのは、小ちいさい直方体ちょくほうたいから出でる流束りゅうそくを考かんがえると見みえます。 $x$ 方向ほうこうだけ見みると、左右さゆうの面めんから出でる流量りゅうりょうの差さは 1 次じ近似きんじで

\frac{\partial P}{\partial x} Δ x Δ y Δ z

です。これを $y, z$ 方向ほうこうでも同様どうように足たし合あわせると、

(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}) Δ V

となります。したがって単位体積たんいたいせきあたりの正味しょうみの流出量りゅうしゅつりょうが発散はっさんです。

3. 回転かいてん

ベクトル場ば $F = (P, Q, R)$ に対たいして

\nabla \times F = (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})

を回転かいてんと呼よびます。これは場ばが近ちかくでどれだけ回まわろうとしているかを表あらわす量りょうです。

たとえば $x y$ 平面へいめんで $F = (P, Q, 0)$ を考かんがえると、小ちいさい長方形ちょうほうけいの周まわりの循環じゅんかんは 1 次じ近似きんじで

(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) Δ x Δ y

になります。したがって $z$ 方向ほうこうの回転かいてんの成分せいぶんを

\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}

と定義ていぎするのが自然しぜんです。3 次元じげんではこれを各方向かくほうこうへ拡張かくちょうしたものが $\nabla \times F$ です。

どこまで成なり立たつか

ここでは 3 次元じげんの直交座標ちょっこうざひょうで、十分じゅうぶんに微分可能びぶんかのうな場ばを前提ぜんていにしています。したがって極座標きょくざひょうや球座標きゅうざひょうでは同おなじ記号きごうでも成分表示せいぶんひょうじが変かわりますし、微分可能性びぶんかのうせいがない場ばではここでの式しきをそのまま使つかえません。

見分みわけ方かた

温度おんどや電位でんいのように 1 つの数すうが与あたえられているなら、まずスカラー場ばとして勾配こうばいを考かんがえます。
流速りゅうそくや力場りきばのように向むきと大おおきさがあるなら、ベクトル場ばとして発散はっさんや回転かいてんを疑うたがいます。
各点かくてんで「外そとへ広ひろがるか」「回まわるか」を問とう問題もんだいは、ベクトル解析かいせきの言葉ことばで整理せいりできます。

最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] Δ f \approx \nabla f \cdot Δ r

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \nabla \cdot F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \nabla \times F = 場 / ば] の [局 所 的 / き ょ く し ょ て き] な [回 転 / か い て ん] を [表 / あ ら わ] す [PARSE ERROR: Undefined("RBrace")]

一言ひとことでいうと

ベクトル解析かいせきは、多変数たへんすうの場ばを微分びぶんして、その変化へんかの意味いみを読よむための言葉ことばです。