位置いちベクトルと図形ずけいへの応用おうよう

date2026-04-22description位置ベクトルを、点を原点からのベクトルで表示して中点・内分点・重心を計算する方法として整理する講義である。prerequisites点とベクトルの違い / ベクトルと内積type講義statusactive

mathvectorhighschoolgeometrylecture

導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、点てんを原点げんてんからの位置いちベクトルで表示ひょうじし、図形条件ずけいじょうけんを加法かほうと係数けいすうの式しきへ変換へんかんすることである。

図形ずけいの問題もんだいでは、中点ちゅうてん、内分点ないぶんてん、重心じゅうしんのように点てんどうしの関係かんけいが出現しゅつげんする。位置いちベクトルを用もちいると、これらを平均へいきんや重おもみつき平均へいきんとして計算けいさんできる。

data/lecture/math/vector/点とベクトルの違い-講義.n.md

用語ようごと定義ていぎ

位置いちベクトルPosition vector とは、原点げんてん $O$ から点てん $P$ へ向むかうベクトル $\vec{O P}$ である。

内分点ないぶんてんInternal division point とは、線分せんぶん $A B$ の内部ないぶで $A P : P B = m : n$ を満みたす点てんである。

重心じゅうしんCentroid とは、三角形さんかくけいの 3 頂点ちょうてんの位置いちベクトルの平均へいきんで表あらわされる点てんである。

方針ほうしん

点てんを直接ちょくせつ操作そうさせず、まず原点げんてん $O$ からの位置いちベクトルに変換へんかんする。その後あとで、中点ちゅうてん、内分点ないぶんてん、重心じゅうしんを係数けいすうつき平均へいきんとして計算けいさんする。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

位置いちベクトルは、点てんの場所ばしょを原点げんてんからの矢印やじるしとして記録きろくする方法ほうほうである。点てんをベクトルで表示ひょうじできるため、図形ずけいの関係かんけいを成分せいぶんや係数けいすうで処理しょりできる。

中点ちゅうてんは 2 点てんの平均へいきんである。重心じゅうしんは 3 点てんの平均へいきんである。内分点ないぶんてんは、線分比せんぶんひに応おうじた重おもみつき平均へいきんである。

厳密げんみつな説明せつめい

1. 中点ちゅうてん

$M$ が $A, B$ の中点ちゅうてんなら、

\vec{O M} = \frac{\vec{O A} + \vec{O B}}{2}

である。これは 2 つの位置いちベクトルの平均へいきんである。

2. 内分点ないぶんてん

$P$ が $A B$ を $m : n$ に内分ないぶんするなら、

\vec{O P} = \frac{n \vec{O A} + m \vec{O B}}{m + n}

である。 $A$ に近ちかいほど $A$ 側がわの係数けいすうは小ちいさくなり、反対側はんたいがわの点てんの係数けいすうが大おおきくなる。

3. 重心じゅうしん

三角形さんかくけい $A B C$ の重心じゅうしん $G$ は、

\vec{O G} = \frac{\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}}{3}

である。これは 3 頂点ちょうてんの等重とうじゅうみのアフィン結合けつごうである。

data/lecture/math/vector/アフィン結合と重心-講義.n.md

具体例ぐたいれい

$A = (1, 2)$ 、 $B = (5, 4)$ とする。中点ちゅうてん $M$ は

M = \frac{A + B}{2} = (\frac{1 + 5}{2}, \frac{2 + 4}{2}) = (3, 3)

である。これは座標ざひょうごとの平均へいきんである。

別べつの観点かんてん

図形的ずけいてきには、位置いちベクトルは点てんの配置はいちを矢印やじるしで表現ひょうげんする方法ほうほうである。代数的だいすうてきには、点てんの関係かんけいを係数けいすうつき平均へいきんで処理しょりする方法ほうほうである。

見分みわけ方かた

中点ちゅうてん、内分点ないぶんてん、重心じゅうしんが出現しゅつげんしたら、位置いちベクトルを検討けんとうする。
線分比せんぶんひが多おおい図形問題ずけいもんだいでは、座標計算ざひょうけいさんより位置いちベクトルのほうが短縮たんしゅくできる場合ばあいがある。
点てんとベクトルの区別くべつが必要ひつような場面ばめんでは、まず点てんどうしの差さをベクトルとして確認かくにんする。

どこまで成なり立たつか

位置いちベクトルは原点げんてんの選択せんたくに依存いぞんする。一方いっぽう、内分比ないぶんひや重心じゅうしんのような図形的関係ずけいてきかんけいは、原点げんてんを変更へんこうしても変化へんかしない。この不変性ふへんせいを明確めいかくにする言葉ことばがアフィン結合けつごうである。

最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \vec{O P} = \frac{n \vec{O A} + m \vec{O B}}{m + n}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \vec{O G} = \frac{\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}}{3}

一言ひとことでいうと

位置いちベクトルは、点てんの関係かんけいを加法かほうと係数けいすうの計算けいさんへ変換へんかんする道具どうぐである。