図形ずけいと方程式ほうていしきの基本きほん

date2026-03-27description図形と方程式を、点の条件を式に直す見方から整理し、直線・円・距離条件を座標平面でどう扱うか説明します。prerequisites二次関数の基本 / 平方完成 / 座標平面の基本type講義statusactive

mathgeometryhighschoollecture

導入どうにゅう

この講義こうぎで最重要さいじゅうようなのは、図形ずけいの条件じょうけんを「点てん $P (x, y)$ が何なにを満みたすか」という式しきへ直なおすことです。

図形ずけいと方程式ほうていしきで混乱こんらんしやすいのは、直線ちょくせんや円えんの公式こうしきを覚おぼえても、「この式しきはどの点てんの集あつまりを表あらわしているのか」が見みえないことです。この講義こうぎでは、点てんの満みたす条件じょうけんから図形ずけいを作つくる見方みかたを中心ちゅうしんにします。

用語ようごと定義ていぎ

軌跡きせきLocus とは、ある条件じょうけんを満みたす点てんの集あつまりです。

距離きょりDistance は、2 点てん $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ に対たいして

A B = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}

で与あたえられます。

方針ほうしん

まず点てん $P (x, y)$ を置おき、その点てんが満みたす条件じょうけんを式しきにします。そのあと、得えられた式しきを整理せいりして、直線ちょくせんなのか円えんなのか、あるいは別べつの図形ずけいなのかを読よみ取とります。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

直線ちょくせんも円えんも、「点てんがどういう条件じょうけんを満みたすか」で決きまります。たとえば円えんは「ある 1 点てんからの距離きょりが一定いってい」な点てんの集あつまりです。この言葉ことばをそのまま式しきにしたものが円えんの方程式ほうていしきです。

厳密げんみつな説明せつめい

1. 直線ちょくせん

直線ちょくせん $y = m x + n$ は、 $x$ を 1 つ決きめると $y$ が 1 つに決きまる点てんの集あつまりです。傾かたむき $m$ と切片せっぺん $n$ は、向むきと高たかさを表あらわします。

2. 円えん

中心ちゅうしん $C (a, b)$ 、半径はんけい $r$ の円えんは、「 $P (x, y)$ が $C$ からの距離きょり $r$ を満みたす」という条件じょうけんから

\sqrt{(x - a)^{2} + (y - b)^{2}} = r

を得えます。これを二乗にじょうして

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

です。

3. 平方完成へいほうかんせいで中心ちゅうしんを読よむ

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0

のような式しきは、そのままでは図形ずけいが見みえにくいですが、

x^{2} - 2 x = (x - 1)^{2} - 1, y^{2} + 4 y = (y + 2)^{2} - 4

と変形へんけいすると

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 9

となり、中心ちゅうしん $(1, - 2)$ 、半径はんけい $3$ の円えんだと分わかります。

別べつの見方みかた

図形ずけいとしては「距離きょりが一定いってい」「傾かたむきが一定いってい」という条件じょうけんを見みる分野ぶんやです。計算けいさんとしては、点てん $P (x, y)$ を置おいて条件じょうけんを式しきへ落おとす分野ぶんやです。この 2 つを往復おうふくできると、軌跡きせきや領域りょういきも扱あつかいやすくなります。

見分みわけ方かた

点てんが動うごく問題もんだいでは、まず $P (x, y)$ を置おいて条件じょうけんを書かきます。
$x^{2}$ と $y^{2}$ が対称的たいしょうてきに出でてきたら、円えんを疑うたがいます。
平方完成へいほうかんせいをすると中心ちゅうしんや半径はんけいが読よみ取とれる形かたちが見みえます。

最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

一言ひとことでいうと

図形ずけいと方程式ほうていしきでは、点てんの条件じょうけんを式しきに直なおせるかが核心かくしんです。