内積空間ないせきくうかんinner product spaceの基本きほん

1. 内積ないせきinner productの公理こうり

内積ないせきinner productの定義ていぎで重要じゅうようなのは、「平面へいめんの点積てんせきで成立せいりつしていた、長ながさと角度かくどを扱あつかうのに必要ひつような性質せいしつだけを抽出ちゅうしゅつする」ことである。

線型性せんけいせいlinearityがあると、和わや実数じっすうreal number倍ばいに対たいする計算けいさんが容易よういになる。対称性たいしょうせいがあると、「$$u$$u と $$v$$v の関係かんけい」を向むきを交換こうかんしても同おなじ量りょうとして測定そくていできる。正定値性せいていちせいがあると、$$⟨v,v⟩$$\langle v,v\rangle を長ながさの 2 乗じょうとして解釈かいしゃくしても矛盾むじゅんしない。

実じつreal内積空間ないせきくうかんinner product spaceでは、任意にんいのベクトル $$u,v,w$$u,v,w と実数じっすうreal number $$a$$a に対たいして

が成立せいりつする。

2. 複素ふくそcomplex内積空間ないせきくうかんinner product space

複素ふくそcomplexベクトル空間くうかんでは、対称性たいしょうせいをそのまま用もちいない。単純たんじゅんな対称性たいしょうせいでは $$⟨iv,iv⟩$$\langle iv,iv\rangle の正定値性せいていちせいと整合せいごうしないため、共役きょうやくを含ふくむ定義ていぎを採用さいようする。

このノートの規約きやくでは、

が成立せいりつする。実内積じつないせきは、この複素ふくそcomplex内積ないせきinner productから共役きょうやくが不要ふようになった場合ばあいとして理解りかいできる。

3. 長ながさと直交ちょっこうorthogonal

内積ないせきinner productがあれば

で長ながさを定義ていぎできる。ここで正定値性せいていちせいがあるため、根号こんごうの中なかは 0 以上いじょうで、しかも $$v\ne 0$$v\ne 0 なら正せいになる。したがってこの定義ていぎは長ながさとして自然しぜんである。

また

のとき、$$u$$u と $$v$$v は直交ちょっこうorthogonalするという。これは高校こうこうで $$u·v=\left|u\right|\left|v\right|\cos \theta$$u\cdot v=|u||v|\cos\theta だったことを想起そうきすると自然しぜんである。$$\cos \theta =0$$\cos\theta=0 の状況じょうきょうを抽象化ちゅうしょうかすると、「内積ないせきinner productが 0 なら直交ちょっこうorthogonal」という定義ていぎになる。

4. 高校こうこうの内積ないせきinner productとの関係かんけい

$$u=(u_1,u_2),v=(v_1,v_2)$$u=(u_1,u_2),\ v=(v_1,v_2) とすると

は高校こうこうで用もちいる内積ないせきinner productそのものである。したがって内積空間ないせきくうかんinner product spaceは、高校こうこうの図形的ずけいてきな感覚かんかくを一般化いっぱんかした概念がいねんとして理解りかいできる。

5. 内積ないせきinner productから導出どうしゅつされる重要じゅうような不等式ふとうしき

内積ないせきinner productがあると、コーシー・シュワルツの不等式ふとうしき

が成立せいりつする。これは角度かくどを定義ていぎしたり、射影しゃえいprojectionを考察こうさつしたりするときの土台どだいである。

証明しょうめいの発想はっそうは、「長ながさの 2 乗じょうは負ふにならない」という正定値性せいていちせいを用もちいることである。まず実内積空間じつないせきくうかんでは、任意にんいの実数じっすうreal number $$t$$t に対たいして

は 0 以上いじょうである。これを展開てんかいすると

となる。これは $$t$$t の 2 次式じしきで、すべての $$t$$t で 0 以上いじょうであるため、判別式はんべつしきは 0 以下いかである。したがって

すなわち

である。ここで $$⟨u,u⟩=\parallel u{\parallel }^2$$\langle u,u\rangle=\|u\|^2、$$⟨v,v⟩=\parallel v{\parallel }^2$$\langle v,v\rangle=\|v\|^2 を用もちいれば

を得える。

複素内積空間ふくそないせきくうかんでは、判別式はんべつしきによる実数じっすうreal number $$t$$t の議論ぎろんだけでは不十分ふじゅうぶんである。このノートの規約きやくでは第だい 1 変数へんすうが線型せんけいなので、$$v\ne 0$$v\ne0 のとき

と置おく。すると

である。分母ぶんぼの $⟨v,v⟩$\langle v,v\rangle は、$v\ne 0$v\ne0 と正定値性せいていちせいにより正せいの実数じっすうreal numberなので、0 除算じょさんは起おきない。また、このノートでは第だい 1 変数へんすうを線型せんけいにしているため、$\alpha$\alpha は上うえの形かたちになる。第だい 2 変数へんすうを線型せんけいとする流儀りゅうぎでは共役きょうやくの位置いちが変かわる。

この選えらび方かたにより $u-\alpha v$u-\alpha v は $v$v に直交ちょっこうorthogonalする。つまり、$u$u を $v$v 方向ほうこうの成分せいぶんcomponentと、それに直交ちょっこうorthogonalする成分せいぶんcomponentへ分わけている。直交分解ちょっこうぶんかいにより

を得える。したがって

となり、同おなじ不等式ふとうしきが成立せいりつする。$$v=0$$v=0 の場合ばあいは自明じめいである。

実内積空間じつないせきくうかんでは、$$u\ne 0,v\ne 0$$u\ne 0,\ v\ne 0 なら

と定義ていぎしても、コーシー・シュワルツの不等式ふとうしきによって右辺うへんright-hand sideはかならず $$-1$$-1 から $$1$$1 の間あいだに入はいる。したがって逆余弦ぎゃくよげんを用もちいて角度かくど $$\theta$$\theta を定義ていぎできる。つまりコーシー・シュワルツの不等式ふとうしきは、外形上がいけいじょうは単たんなる評価式ひょうかしきであるが、内積空間ないせきくうかんinner product spaceで角度かくどを記述きじゅつするための基礎きそそのものである。

複素内積空間ふくそないせきくうかんでは $$⟨u,v⟩$$\langle u,v\rangle が一般いっぱんに複素数ふくそすうcomplex numberであるため、$$⟨u,v⟩/(\parallel u\parallel \parallel v\parallel )$$\langle u,v\rangle/(\|u\|\|v\|) をそのまま $$\cos \theta$$\cos\theta として使用しようしない。複素数ふくそすうcomplex numberそのものは大小関係だいしょうかんけいを持もたず、逆余弦ぎゃくよげんの入力にゅうりょくとして扱あつかえないためである。複素ふくそcomplexの場合ばあいは、まず

と直交性ちょっこうせい $$⟨u,v⟩=0$$\langle u,v\rangle=0 を基本きほんにする。角度かくどを導入どうにゅうする場合ばあいは、実部じつぶを用もちいるか、実内積空間じつないせきくうかんとして扱あつかい直なおすかを明示めいじする必要ひつようがある。