直線運動ちょくせんうんどうと落下らっか-基本演習きほんえんしゅう

解答かいとう

適用てきよう条件じょうけんの確認かくにん：加速度かそくどが一定いってい（等加速度運動とうかそくどうんどう）であるため、運動学うんどうがくの公式こうしきが使用しようできる。

ルート A：公式こうしきを直接ちょくせつ適用てきようする。

速度そくど：

変位へんい：

ルート B：積分せきぶんから導出どうしゅつする（公式こうしきの成立せいりつを確認かくにんする意味いみで有効ゆうこう）。

$a=\text{const}$a = \text{const} を積分せきぶんすると $v\left(t\right)=v_0+at$v(t) = v_0 + at。さらに積分せきぶんすると $x\left(t\right)=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$x(t) = v_0 t + \frac{1}{2}at^2。値ちを代入だいにゅうすると同おなじ結果けっかを得える。

このルートを選えらぶ場面ばめん：ルート A は数値すうちが与あたえられている通常つうじょうの問題もんだいで最速さいそく。ルート B は「なぜこの公式こうしきか」を確認かくにんしたいとき、または $a$a が時間じかんに依存いぞんする場合ばあいの一般化いっぱんかとして。

解説かいせつ

使用しようした定石じょうせき：等加速度運動とうかそくどうんどうの公式こうしき（$v=v_0+at$v = v_0 + at、$x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2）。導出どうしゅつは加速度かそくどの積分せきぶんによる。

失敗しっぱい分類ぶんるい：

• 見分みわけミス：$t$t が与あたえられているのに $v^2=v_{0^2}+2ax$v^2 = v_0^2 + 2ax を選えらぶ → 与件よけんを確認かくにんする習慣しゅうかんをつける
• 適用てきよう条件じょうけんミス：$a=\text{const}$a = \text{const} の確認かくにんを省略しょうりゃくする → 問題もんだい文ぶんで「等加速度とうかそくど」「一定いっていの加速度かそくど」を確認かくにんする
• 公式こうしき適用てきようミス：$v_0$v_0 と $a$a の符号ふごうを誤あやまる → 軸じくの向むきを設定せっていしてから符号ふごうを決定けっていする

よくある誤あやまり

• 公式こうしきの混同こんどう：$v^2=v_{0^2}+2ax$v^2 = v_0^2 + 2ax（時間じかんを使用しようしない公式こうしき）を時間じかんが必要ひつような問題もんだいに使用しようしてしまう。見分みわけ：$t$t が与あたえられていれば $v=v_0+at$v = v_0 + at、$t$t が不要ふようなら $v^2=v_{0^2}+2ax$v^2 = v_0^2 + 2ax。
• 単位たんいの変換へんかんを忘わすれる：$\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$\mathrm{km/h} と $\mathrm{m}/\mathrm{s}$\mathrm{m/s} の混在こんざい。

解答かいとう

符号ふごうの設定せってい：上向うわむきを正せいとすると $a=-g=-9.8[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$a = -g = -9.8\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}]。

(1) 最高点さいこうてんでは速度そくど $v=0$v = 0。

(2) 最高点さいこうてんでの速度そくどは 定義ていぎより $v=0[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v = 0\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}]（符号ふごうを含ふくむベクトル量りょう）。速はやさは $\left|v\right|=0[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$|v| = 0\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}]（大おおきさのみのスカラー量りょう）。

解説かいせつ

速度そくどと速はやさの区別くべつ：速度そくどはベクトル（向むきをもつ）、速はやさはスカラー（大おおきさのみ）。最高点さいこうてんでは「上うえへ向むかう」運動うんどうも「下したへ向むかう」運動うんどうも一瞬いっしゅんだけ停止ていしするため、速度そくど $=0[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$= 0\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}]、速はやさ $=0[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$= 0\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] となる。

失敗しっぱい分類ぶんるい：

• 前提ぜんてい理解りかい不足ふそく：速度そくどと加速度かそくどを同一視どういつしする → 速度そくどは「位置いちの変化へんか率りつ」、加速度かそくどは「速度そくどの変化へんか率りつ」という定義ていぎに戻もどる
• 公式こうしき適用てきようミス：符号ふごうの設定せっていを忘わすれ、$v_0=20$v_0 = 20 を正せいとして $g$g の符号ふごうを誤あやまる → 上向うわむき正せいと設定せっていしたら $a=-g$a = -g を貫つらぬく

よくある誤あやまり

• 「最高点さいこうてんでは加速度かそくども 0」：速度そくど $=0[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$= 0\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] だが加速度かそくどは常つねに $-g$-g（重力じゅうりょくは最高点さいこうてんでも作用さようする）。この混同こんどうは速度そくどと加速度かそくどの区別くべつの不足ふそくから生しょうじる。

解答かいとう

設定せってい：下向したむきを正せい、$v_0=0[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v_0 = 0\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}]、$a=g=10[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$a = g = 10\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}]。

(1) $H=\frac{1}{2}g{t}^2$H = \frac{1}{2}gt^2 から

(2) ルート A：時間じかんを使用しようする公式こうしき。

ルート B：時間じかんを使用しようしない公式こうしき。

両りょうルートで一致いっちする。

このルートを選えらぶ場面ばめん：ルート A は (1) で $t=4.0[\mathrm{s};\mathsf{T}]$t = 4.0\ [\mathrm{s};\ \mathsf{T}] を求もとめた後あとならそのまま使つかえる。ルート B は $t$t を求もとめずに直接ちょくせつ速度そくどを求もとめるときに有効ゆうこう。

解説かいせつ

自由落下じゆうらっかは $v_0=0$v_0 = 0、$a=g$a = g の特殊とくしゅな等加速度運動とうかそくどうんどう。適用てきよう条件じょうけん：空気抵抗くうきていこうが無視むしできること（問題もんだい文ぶんで明記めいき）。

失敗しっぱい分類ぶんるい：

• 見分みわけミス：$t$t を先さきに求もとめず $v^2=2gH$v^2 = 2gH から直接ちょくせつ計算けいさんすることもできる（ルートB）が、問題もんだい（1）の結果けっかがあるのでルートAが速はやい
• 適用てきよう条件じょうけんミス：「空気抵抗くうきていこうを無視むし」の明記めいきがない問題もんだいでは適用てきようできない → 問題もんだい文ぶんの条件じょうけんを確認かくにんする
• 計算けいさんミス：$\sqrt{16}=4$\sqrt{16} = 4 の計算けいさんで $4.0$4.0 と単位たんいを含ふくめて答こたえる

よくある誤あやまり

• $H=\frac{1}{2}g{t}^2$H = \frac{1}{2}gt^2 ではなく $H=v_{0}t+\frac{1}{2}g{t}^2$H = v_0 t + \frac{1}{2}gt^2 を使用しようしない：$v_0=0$v_0 = 0 なので第だい一いち項こうが消きえるが、見落みおとすと計算けいさんが複雑ふくざつになる。

解答かいとう

設定せってい：A の位置いち $x_A=v_{A}t=4.0[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]t$x_A = v_A t = 4.0\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}]\,t、B の位置いち $x_B=\frac{1}{2}a{t}^2=1.0[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]t^2$x_B = \frac{1}{2}at^2 = 1.0\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}]\,t^2。

B が A に追おいつく条件じょうけんは $x_A=x_B$x_A = x_B：

$t>0[\mathrm{s};\mathsf{T}]$t > 0\ [\mathrm{s};\ \mathsf{T}] なので両辺りょうへんを $t$t で割わると、

位置いちは $x=4.0[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]\times 4.0[\mathrm{s};\mathsf{T}]=16[\mathrm{m};\mathsf{L}]$x = 4.0\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] \times 4.0\ [\mathrm{s};\ \mathsf{T}] = 16\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}]。

解説かいせつ

追跡ついせき問題もんだいの定石じょうせき：各かく物体ぶったいの位置いちを $t$t の関数かんすうとして表あらわし、$x_A=x_B$x_A = x_B を解とく。$t=0[\mathrm{s};\mathsf{T}]$t = 0\ [\mathrm{s};\ \mathsf{T}] は同おなじ地点ちてんにいるだけで「追おいついた」ではないため、$t>0[\mathrm{s};\mathsf{T}]$t > 0\ [\mathrm{s};\ \mathsf{T}] の解かいを選えらぶ。

失敗しっぱい分類ぶんるい：

• 見分みわけミス：追跡ついせき問題もんだいとわかれば $x_A=x_B$x_A = x_B が出発点しゅっぱつてん → 問題もんだい文ぶんの「追おいつく」「同おなじ位置いち」というキーワードで判断はんだんする
• 公式こうしき適用てきようミス：B の位置いちを $v_{0B}t+\frac{1}{2}a{t}^2$v_{0B} t + \frac{1}{2}at^2 とし $v_{0B}=0$v_{0B} = 0 の代入だいにゅうを忘わすれる
• 計算けいさんミス：$t^2-4t=0$t^2 - 4t = 0 を $t=4.0[\mathrm{s};\mathsf{T}]$t = 4.0\ [\mathrm{s};\ \mathsf{T}] のみと解とく（$t=0[\mathrm{s};\mathsf{T}]$t = 0\ [\mathrm{s};\ \mathsf{T}] の解かいを見落みおととし $t>0[\mathrm{s};\mathsf{T}]$t > 0\ [\mathrm{s};\ \mathsf{T}] の判断はんだんをしない）

よくある誤あやまり

• $t=0[\mathrm{s};\mathsf{T}]$t = 0\ [\mathrm{s};\ \mathsf{T}] を正解せいかいとして採用さいようする：見分みわけ方かた：問題もんだいが「B が A に追おいつく」と述のべているため、$t>0[\mathrm{s};\mathsf{T}]$t > 0\ [\mathrm{s};\ \mathsf{T}] の解かいのみが正せいしい。

解答かいとう

ルート A：対称性たいしょうせいを利用りようする。

投射とうしゃの上昇じょうしょうと下降かこうは時間じかんが等ひとしく（空気抵抗くうきていこうなし）、初速度しょそくどと最終速度さいしゅうそくどの大おおきさは等ひとしい。ただし向むきは逆ぎゃく（下向したむき）。

下向したむきを負ふとすると $-15[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$-15\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] である。速はやさは $\left|v\right|=15[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$|v| = 15\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}]。

ルート B：$v^2=v_{0^2}+2ax$v^2 = v_0^2 + 2ax を使用しようする。始点してんと終点しゅうてんで $x=0$x = 0（同おなじ高たかさ）。

下したへ向むかっているため $v=-15[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v = -15\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}]（上向うわむき正せいの設定せってい）。

このルートを選えらぶ場面ばめん：ルート A は「対称性たいしょうせい」という物理ぶつり的てきな直観ちょっかんを使用しようするため速はやい。ルート B は公式こうしきを機械的きかいてきに適用てきようするため確実かくじつ。どちらのルートも正確せいかくな答こたえを与あたえる。

解説かいせつ

保存力ほぞんりょく（重力じゅうりょく）のみが作用さようし始点してん・終点しゅうてんの高たかさが同おなじ → 位置いちエネルギーの変化へんか $\mathrm{\Delta }U=0$\Delta U = 0 → 運動うんどうエネルギーも変化へんかしない → 速はやさは初速度しょそくどに等ひとしい。これは力学的りきがくてきエネルギー保存則ほぞんそくからも説明せつめいできる。

失敗しっぱい分類ぶんるい：

• 見分みわけミス：ルートAの対称性たいしょうせいを思おもいつけない場合ばあいはルートBで機械的きかいてきに計算けいさんする → どちらでも正答せいとうを得えられる
• 公式こうしき適用てきようミス：始点してんと終点しゅうてんで $x=0$x = 0（同おなじ高たかさ）の確認かくにんを忘わすれて $\mathrm{\Delta }x$\Delta x を別べつの値ちにしてしまう
• 前提ぜんてい理解りかい不足ふそく：「速度そくどは向むきをもつ」ことを忘わすれ $\left|v\right|$|v| を速度そくどとして答こたえる → 問題もんだい文ぶんが「速度そくど」か「速はやさ」かで回答かいとう形式けいしきを変かえる

よくある誤あやまり

• 速度そくどの符号ふごうを無視むしして $+15[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$+15\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] と答こたえる：速度そくどは向むきをもつベクトル量りょう。下向したむきを正せいに設定せっていした場合ばあいは $+15[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$+15\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}]、上向うわむきを正せいにした場合ばあいは $-15[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$-15\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] となる。設定せっていの一貫性いっかんせいが重要じゅうよう。