原始関数げんしかんすうantiderivativeと不定積分ふていせきぶんindefinite integral-基本演習きほんえんしゅう

1問題もんだい 1

$$\int (3x^2-2)dx$$\int (3x^2-2)\,dx を求もとめよ。

1.1解答例かいとうれい

$$\{x\mapsto x^3-2x+C\mid C\in \mathbb{R}\}$$\{x\mapsto x^3-2x+C\mid C\in\mathbb R\} である。実際じっさいに微分びぶんすると $$(x^3-2x+C{)}^{\prime }=3x^2-2$$(x^3-2x+C)'=3x^2-2 となる。

1.2解説かいせつ

不定積分ふていせきぶんindefinite integralは 1 つの関数かんすうではなく、すべての原始関数げんしかんすうからなる関数族かんすうぞくである。

2問題もんだい 2

$$F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$$F:\mathbb R\to\mathbb R とする。$$F^{\prime }\left(x\right)=2x$$F'(x)=2x、$$F\left(1\right)=5$$F(1)=5 を満みたす $$F$$F を求もとめよ。

2.1解答例かいとうれい

$$F\left(x\right)=x^2+C$$F(x)=x^2+C である。$$F\left(1\right)=1+C=5$$F(1)=1+C=5 より $$C=4$$C=4、したがって $$F\left(x\right)=x^2+4$$F(x)=x^2+4 である。

2.2解説かいせつ

条件じょうけんが与あたえられると積分定数せきぶんていすうconstant of integrationが決きまる。

3問題もんだい 3

$${\int }_0^{1}2xdx$$\int_0^1 2x\,dx と $$\int 2xdx$$\int 2x\,dx の出力しゅつりょくの種類しゅるいを説明せつめいせよ。

3.1解答例かいとうれい

$${\int }_0^{1}2xdx$$\int_0^1 2x\,dx は端点たんてんを指定していした定積分ていせきぶんdefinite integralであり、出力しゅつりょくは 1 つの数すうである。$$\int 2xdx$$\int 2x\,dx は不定積分ふていせきぶんindefinite integralであり、出力しゅつりょくは関数族かんすうぞく $$\{x\mapsto x^2+C\mid C\in \mathbb{R}\}$$\{x\mapsto x^2+C\mid C\in\mathbb R\} である。

3.2解説かいせつ

積分記号せきぶんきごうが共通きょうつうであっても、定積分ていせきぶんと不定積分ふていせきぶんの定義ていぎおよび出力しゅつりょくは異ことなる。

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