原始関数げんしかんすうantiderivativeと不定積分ふていせきぶんindefinite integral

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、不定積分ふていせきぶんindefinite integralを面積めんせきではなく、微分びぶんdifferentiationの逆問題ぎゃくもんだいとして定義ていぎする。さらに、区間くかん 上じょうで同一どういつの導関数どうかんすうを持もつ関数かんすうが定数差ていすうさであることから、積分定数せきぶんていすうが必要ひつようとなる理由りゆうを説明せつめいする。

区間くかん $I$I 上じょうで $$F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$$F'(x)=f(x) を満みたす $$F$$F を、$I$I 上じょうの $$f$$f の原始関数げんしかんすうantiderivativeという。

2積分定数せきぶんていすう

平均値へいきんちの定理ていりmean value theoremによれば、関数かんすう $H$H が $[u,v]$[u,v] 上じょうで連続れんぞくかつ $(u,v)$(u,v) 上じょうで微分可能びぶんかのうならば、ある $c\in (u,v)$c\in(u,v) が存在そんざいして

が成立せいりつする。

この定理ていりは次つぎのように証明しょうめいできる。まず、微分可能びぶんかのうな関数かんすうが内点ないてん $c$c で局所的きょくしょてきな最大値さいだいちまたは最小値さいしょうちを取とるならば、左右さゆうからの差商さしょうの符号ふごうを比較ひかくすることにより $H^{\prime }\left(c\right)=0$H'(c)=0 となる。これをFermat の停留条件ていりゅうじょうけんFermat's stationary-point theoremという。

次つぎに、$H\left(u\right)=H\left(v\right)$H(u)=H(v) とする。極限きょくげんと連続れんぞくで導入どうにゅうした最大値さいだいち・最小値さいしょうち定理ていりにより、$H$H は $[u,v]$[u,v] で最大値さいだいちと最小値さいしょうちを達成たっせいする。$H$H が定数関数ていすうかんすうでなければ、いずれかの極値きょくちは内点ないてんで達成たっせいされ、Fermat の停留条件ていりゅうじょうけんから $H^{\prime }\left(c\right)=0$H'(c)=0 となる。$H$H が定数関数ていすうかんすうならば任意にんいの内点ないてんで同おなじ結論けつろんを得える。これがRolle の定理ていりRolle's theoremである。

一般いっぱんの $H$H に対たいして

とおくと $K\left(u\right)=K\left(v\right)$K(u)=K(v) である。Rolle の定理ていりにより、ある $c\in (u,v)$c\in(u,v) で $K^{\prime }\left(c\right)=0$K'(c)=0 となる。これを整理せいりすれば平均値へいきんちの定理ていりを得える。

$f$f が区間くかん $I$I 上じょうで原始関数げんしかんすう $F$F を持もつと仮定かていする。任意にんいの定数ていすう $$C$$C について $$(F+C{)}^{\prime }=f$$(F+C)'=f である。逆ぎゃくに、$I$I 上じょうで $G^{\prime }=f$G'=f ならば、$(G-F{)}^{\prime }=0$(G-F)'=0 である。$F$F と $G$G は微分可能びぶんかのうであるため連続れんぞくでもあり、$I$I の任意にんいの 2 点てん $u<v$u<v に平均値へいきんちの定理ていりを適用てきようできる。したがって、ある $c\in (u,v)$c\in(u,v) に対たいして

となる。したがって $G-F$G-F は $I$I 上じょうで一定いっていであり、ある定数ていすう $C$C により $G=F+C$G=F+C と表あらわされる。よって、不定積分ふていせきぶんは

と書かく。この $$C$$C を積分定数せきぶんていすうconstant of integrationという。

$f$f が $I$I 上じょうで原始関数げんしかんすうを持もたない場合ばあい、その原始関数げんしかんすうの集合しゅうごうは空集合くうしゅうごうであり、上記じょうきの $F+C$F+C という表示ひょうじは使用しようできない。

定義域ていぎいきを区間くかんとすることは重要じゅうようである。非連結ひれんけつな定義域ていぎいきでは、連結成分れんけつせいぶんごとに異ことなる定数ていすうを加くわえられるため、全域ぜんいきで 1 つの積分定数せきぶんていすうを選択せんたくできるとは限かぎらない。

3定積分ていせきぶんdefinite integralとの違ちがい

定積分ていせきぶんdefinite integralは区間くかんの端点たんてんを指定していして得えられる 1 つの数すうである。不定積分ふていせきぶんindefinite integralは原始関数げんしかんすうantiderivativeの集合しゅうごうである。両者りょうしゃは微分積分学びぶんせきぶんがくの基本定理きほんていりによって接続せつぞくされるが、定義ていぎと出力しゅつりょくは異ことなる。

4具体例ぐたいれい

$$f\left(x\right)=2x$$f(x)=2x の原始関数げんしかんすうantiderivativeは $$F\left(x\right)=x^2$$F(x)=x^2 である。したがって

である。この例れいでは、答こたえが 1 つの関数かんすうではなく、定数差ていすうさだけ異ことなる関数族かんすうぞくであることを確認かくにんしている。

5演習えんしゅうリンク

6関連かんれんリンク