微分積分学の基本定理
1導入
この講義では、連続関数の累積量を微分すると元の関数が回復すること、および定積分を原始関数の端点差で計算できることを証明する。この 2 つの主張が微分積分学の基本定理である。
2第一部：累積関数の微分
f を閉区間 [a,b] 上の連続関数とし、
F(x)=\int_a^x f(t)\,dt
と定義する。このとき F は (a,b) 上で微分可能であり、
F'(x)=f(x)
が成立する。端点では片側微分として同様の結論を得る。
2.1証明
h\ne0 かつ x+h\in[a,b] とすると、定積分の加法性により
\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,dt.
したがって
\frac{F(x+h)-F(x)}{h}-f(x)
=\frac1h\int_x^{x+h}\bigl(f(t)-f(x)\bigr)\,dt.
I_h を x と x+h を端点とする閉区間とし、M_h=\max_{t\in I_h}|f(t)-f(x)| とおくと、
\left|\frac1h\int_x^{x+h}\bigl(f(t)-f(x)\bigr)\,dt\right|\le M_h
である。f は x で連続であるため M_h\to0 であり、F'(x)=f(x) を得る。この評価は h<0 の場合にも成立する。
3第二部：原始関数による計算
f を [a,b] 上の連続関数とし、G は [a,b] 上で連続、(a,b) 上で微分可能かつ G'=f を満たすとする。このとき
\int_a^b f(x)\,dx=G(b)-G(a)
が成立する。
3.1証明
第一部で定義した F(x)=\int_a^x f(t)\,dt は F'=f を満たす。したがって (F-G)'=0 である。原始関数の定数差により、F-G は [a,b] 上で一定である。F(a)=0 なので
F(x)=G(x)-G(a)
となり、x=b を代入すれば結論を得る。
4可変端点
通常の定義で p<q とし、向き付き積分を
\int_q^p f(t)\,dt=-\int_p^q f(t)\,dt,\qquad \int_p^p f(t)\,dt=0
と定義する。f が区間 J 上で連続であり、a,b\in J を固定する。u,v が区間 D から J への微分可能な関数ならば、D の内点で第一部と連鎖律により
\frac{d}{dx}\int_a^{v(x)}f(t)\,dt=f(v(x))v'(x),
\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^b f(t)\,dt=-f(u(x))u'(x)
である。両端が変数の場合は
\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,dt
=f(v(x))v'(x)-f(u(x))u'(x)
となる。下端の項に負号が付くのは、下端の増加によって積分区間が縮小するためである。
5総変化量
g' が [a,b] 上で連続ならば、第二部を f=g' に適用して
\int_a^b g'(x)\,dx=g(b)-g(a)
を得る。左辺は瞬間変化率の累積、右辺は区間全体の変化量である。
6具体例
G(x)=\int_0^x\cos t\,dt とすると、第一部により G'(x)=\cos x である。また、
\int_0^1 x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac13
である。ここで [G(x)]_a^b=G(b)-G(a) は端点差を表す記法である。
7適用条件
本講義では f の連続性を仮定した。この仮定により、f のリーマン積分可能性と、累積関数が各点で f を導関数に持つことが保証される。より弱い仮定の下では、結論を成立させる点や微分の意味を調整する必要がある。
8演習リンク
data/exercise/math/calculus/fundamental-theorem-of-calculus.exercise.n.md
data/exercise/math/calculus/integration-methods-and-computation.exercise.n.md
9関連リンク
data/lecture/math/calculus/integral-definition-riemann-sums-and-signed-area.lecture.n.md
data/lecture/math/calculus/antiderivatives-and-indefinite-integrals.lecture.n.md
data/lecture/math/calculus/integration-rules-and-computation.lecture.n.md