関数かんすうfunction・定義域ていぎいきdomain・グラフの解釈かいしゃく

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、極限きょくげんlimitや微分びぶんdifferentiationを導入どうにゅうする前まえに、定義域ていぎいきに属ぞくする入力にゅうりょくと、極限きょくげんを考察こうさつする点てんを明確めいかくにする。

関数かんすうfunctionは、定義域ていぎいきの各入力かくにゅうりょくをただ 1 つの出力しゅつりょくへ対応たいおうさせる規則きそくである。ただし、関数かんすうを式しきだけでは特定とくていできない。許容きょようされる入力にゅうりょくの集合しゅうごう、すなわち定義域ていぎいきdomainも明示めいじする必要ひつようがある。

2グラフによる直感的ちょっかんてきな解釈かいしゃく

グラフにおける極限きょくげんlimitは、関数かんすうが対象たいしょうの点てんでとる値あたいではなく、その点てんの周辺しゅうへんにおける関数値かんすうちの挙動きょどうを表あらわす。定義域ていぎいきから除外じょがいされ、両側りょうがわから接近可能せっきんかのうな点てんでも、左右さゆうからの関数値かんすうちが同一どういつの値あたいへ収束しゅうそくすれば、極限きょくげんlimitは存在そんざいしうる。

定義域ていぎいきが区間くかんである場合ばあい、その端点たんてんには定義域内ていぎいきないから一方向いちほうこうにしか接近せっきんできない。右端みぎたんでは左側ひだりがわから、左端ひだりたんでは右側みぎがわからの挙動きょどうを考察こうさつするため、片側極限かたがわきょくげんone-sided limitが必要ひつようとなる。

3厳密げんみつな整理せいり

定義域ていぎいきdomainを $$D$$D とする。$$a$$a での極限きょくげんlimitを考察こうさつするには、$$a$$a が $$D$$D に属ぞくすることではなく、$$a$$a が $$D$$D の集積点しゅうせきてんaccumulation pointであることが必要ひつようである。すなわち、任意にんいの $$\delta >0$$\delta>0 に対たいして、$$0<|x-a|<\delta$$0<|x-a|<\delta を満みたす $$x\in D$$x\in D が存在そんざいしなければならない。

$$f$$f が $$a$$a で連続れんぞくcontinuousであることを確認かくにんするには、次つぎの 3 条件じょうけんを個別こべつに確認かくにんする。

1. $$f\left(a\right)$$f(a) が定義ていぎされている。
2. $$\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)$$\lim_{x\to a}f(x) が存在そんざいする。
3. $$\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a) が成立せいりつする。

4具体例ぐたいれい

問題もんだいとして、$$D=\mathbb{R}\setminus \left\{1\right\}$$D=\mathbb{R}\setminus\{1\} 上じょうの関数かんすう $$f:D\to \mathbb{R}$$f:D\to\mathbb{R} を $$f\left(x\right)=(x^2-1)/(x-1)$$f(x)=(x^2-1)/(x-1) によって定義ていぎする。$$x=1$$x=1 では分母ぶんぼが 0 になるため、$$1$$1 は定義域ていぎいきdomainから除のぞかれる。しかし $$x\ne 1$$x\ne1 では $$f\left(x\right)=x+1$$f(x)=x+1 である。したがって、穴あなの周辺しゅうへんでは直線ちょくせん $$y=x+1$$y=x+1 と同おなじ振舞ふるまいをする。

この例れいは、関数値かんすうちfunction value、定義域ていぎいきdomain、極限きょくげんlimitを区別くべつする必要性ひつようせいを示しめす。

5演習えんしゅうリンク

6関連かんれんリンク