一階連立系いっかいれんりつけいと行列指数関数ぎょうれつしすうかんすう

date2026-07-16document_iddoc_dd8f17e6aec5751d05b68ac0ead14d56description定数係数一階線型系を、行列指数級数の収束、初期値問題の一意性、時間発展、変分定数公式、高階方程式の一階化まで含めて整理する。prerequisitesEuler-Cauchy 型と高階方程式 / 線型写像と行列 / 固有値と固有ベクトル / 対角化の基本type講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

高階方程式こうかいほうていしきを複数ふくすうの状態変数じょうたいへんすうへ分わけると、一階連立系いっかいれんりつけいになる。このページでは、その定数係数ていすうけいすうの基本形きほんけい

x^{'} = A x, x (t_{0}) = x_{0}

の一意解いちいかいが $e^{A (t - t_{0})} x_{0}$ となることを、級数きゅうすうの収束しゅうそくから証明しょうめいする。ここで $K = R$ または $C$ 、 $A \in K^{n \times n}$ 、 $x_{0} \in K^{n}$ 、 $t \in R$ とし、 $A$ は $t$ に依存いぞんしない。

2行列指数級数ぎょうれつしすうきゅうすうの収束しゅうそく

行列指数関数ぎょうれつしすうかんすうmatrix exponentialを

e^{A t} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(A t)^{k}}{k!} = I + A t + \frac{A^{2} t^{2}}{2!} + \dots

で定義ていぎする。例れいとして、最大行和さいだいぎょうわノルム

∥ B ∥_{\infty} = \max_{i} \sum_{j} | b_{i j} |

を用もちいる。行列積ぎょうれつせきについて

\sum_{j} | (B C)_{i j} | [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] \sum_{k} | b_{i k} | \sum_{j} | c_{k j} | [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] ∥ C ∥_{\infty} \sum_{k} | b_{i k} | [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] ∥ B ∥_{\infty} ∥ C ∥_{\infty}

なので、 $∥ B C ∥_{\infty} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] ∥ B ∥_{\infty} ∥ C ∥_{\infty}$ である。このノルムで

∥ \frac{(A t)^{k}}{k!} ∥ [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] \frac{(∥ A ∥ | t |)^{k}}{k!}

である。右辺うへんの和わは $e^{∥ A ∥ | t |}$ なので、行列級数ぎょうれつきゅうすうはすべての $t$ で絶対収束ぜったいしゅうそくする。さらに $| t | [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] T$ では同おなじ上界じょうかいを $T$ で設定せっていできるため、有界区間ゆうかいくかんで一様収束いちようしゅうそくする。微分級数びぶんきゅうすうにも同様どうようの評価ひょうかを適用てきようできるので、項別微分こうべつびぶんにより

\frac{d}{d t} e^{A t} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k A^{k} t^{k - 1}}{k!} = A e^{A t} = e^{A t} A

を得える。 $A$ とその冪べきは可換かかんなので、 $A$ を左右さゆうのどちらに置おいてもよい。

3可逆性かぎゃくせい

$e^{A 0} = I$ である。さらに微分公式びぶんこうしきから

\frac{d}{d t} (e^{- A t} e^{A t}) = - A e^{- A t} e^{A t} + e^{- A t} A e^{A t} = 0

となる。 $t = 0$ でこの積せきは $I$ なので、すべての $t$ で $e^{- A t} e^{A t} = I$ である。左右さゆうを逆ぎゃくにした積せきも同様どうようだから、

(e^{A t})^{- 1} = e^{- A t}

を、解かいの一意性いちいせいをまだ用もちいずに得える。

4初期値問題しょきちもんだいの存在そんざいと一意性いちいせい

x (t) = e^{A (t - t_{0})} x_{0}

は、微分公式びぶんこうしきと $e^{A 0} = I$ により方程式ほうていしきと初期条件しょきじょうけんを満みたすので、解かいは存在そんざいする。一意性いちいせいも行列指数関数ぎょうれつしすうかんすうから直接ちょくせつ示しめせる。別べつの解かい $y$ に対たいして

\frac{d}{d t} (e^{- A (t - t_{0})} y (t)) = - A e^{- A (t - t_{0})} y + e^{- A (t - t_{0})} A y = 0

である。よって括弧内かっこないは定数ていすう $y (t_{0}) = x_{0}$ であり、 $y (t) = e^{A (t - t_{0})} x_{0}$ に限かぎられる。

5時間発展じかんはってんの合成則ごうせいそく

任意にんいの $s, t \in R$ に対たいして

e^{A (t + s)} = e^{A t} e^{A s}

が成立せいりつする。 $t$ の関数かんすうとして両辺りょうへんは $X^{'} = A X$ を満みたし、 $t = 0$ でともに $e^{A s}$ になるので、いま示しめした一意性いちいせいから一致いっちする。したがって、時間じかん $s$ の時間発展じかんはってんと時間じかん $t$ の時間発展じかんはってんの合成ごうせいは、時間じかん $s + t$ の時間発展じかんはってんに一致いっちする。

6計算方法けいさんほうほうの入口いりぐち

$A = P D P^{- 1}$ と対角化たいかくかできるとする。ここで $P$ は可逆かぎゃくである。 $(P D P^{- 1})^{k} = P D^{k} P^{- 1}$ を級数きゅうすうへ代入だいにゅうすると、

e^{A t} = P e^{D t} P^{- 1}

を得える。 $D = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ なら、 $e^{D t} = diag (e^{λ_{1} t}, \dots, e^{λ_{n} t})$ である。この説明せつめいは $A$ を対角化たいかくかできる体たいの上うえで行おこなう。実行列じつぎょうれつが $C$ 上じょうでだけ対角化たいかくかできるときは、共役きょうやくな複素解ふくそかいの実部じつぶと虚部きょぶから実解じつかいを構成こうせいする。

固有こゆうベクトルが基底きていをなせば、互たがいに直交ちょっこうしなくても $P e^{D t} P^{- 1}$ は全時間発展ぜんじかんはってんを正確せいかくに与あたえる。ただし非直交基底ひちょっこうきていでは、ユークリッド長ながさの途中とちゅうの増減ぞうげんを固有値こゆうちのみから評価ひょうかできない。固有こゆうベクトルが基底きていをなさない場合ばあいは対角化不能たいかくかふのうであり、次つぎの講義こうぎで Jordan 形けいを用もちいて多項式因子たこうしきいんしを含ふくむ時間発展じかんはってんを構成こうせいする。

7回転かいてんを生成せいせいする例れい

A = (\begin{matrix} 0 & - ω \\ ω & 0 \end{matrix}), ω \in R, x_{0} \in R^{2}

では $A^{2} = - ω^{2} I$ である。偶数次ぐうすうじと奇数次きすうじを分わけると、

e^{A t} = (\begin{matrix} \cos ω t & - \sin ω t \\ \sin ω t & \cos ω t \end{matrix}) .

また $A^{T} = - A$ なので、解かいに沿そって

\frac{d}{d t} ∥ x ∥_{2^{2}} = x^{T} (A^{T} + A) x = 0.

したがって長ながさは保存ほぞんされ、 $ω > 0$ なら反時計回はんとけいまわり、 $ω < 0$ なら時計回とけいまわりに、角速度かくそくど $| ω |$ で回転かいてんする。これはこの反対称行列はんたいしょうぎょうれつの結論けつろんであり、「純虚固有値じゅんきょこゆうちなら常つねに長ながさが保存ほぞんされる」という一般則いっぱんそくではない。

8高階方程式こうかいほうていしきの一階化いっかいか

y^{(m)} + a_{m - 1} y^{(m - 1)} + \dots + a_{1} y^{'} + a_{0} y = f (t)

に $x = (y, y^{'}, \dots, y^{(m - 1)})^{T}$ を導入どうにゅうすると、

x^{'} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ - a_{0} & - a_{1} & - a_{2} & \dots & - a_{m - 1} \end{matrix}) x + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ f (t) \end{matrix}) .

$y (t_{0}), y^{'} (t_{0}), \dots, y^{(m - 1)} (t_{0})$ は $x (t_{0})$ の $m$ 成分せいぶんになる。係数けいすう $a_{j}$ が定数ていすうなら定数行列ていすうぎょうれつになり、変数係数へんすうけいすうなら $A (t)$ をもつ系けいになる。

9非同次系ひどうじけいと変分定数公式へんぶんていすうこうしき

$b (t)$ が連続れんぞくである非同次系ひどうじけい

x^{'} = A x + b (t), x (t_{0}) = x_{0}

を考かんがえる。 $x = e^{A (t - t_{0})} u (t)$ と置おくと、

u^{'} (t) = e^{- A (t - t_{0})} b (t)

になる。 $t_{0}$ から $t$ まで積分せきぶんして元もとへ戻もどすと、

x (t) = e^{A (t - t_{0})} x_{0} + \int_{t_{0}}^{t} e^{A (t - s)} b (s) d s

を得える。これを変分定数公式へんぶんていすうこうしきvariation-of-constants formulaという。これは既習きしゅうの定数変化法ていすうへんかほうを連立系れんりつけいへ移うつした同おなじ発想はっそうである。右辺うへんを微分びぶんすれば方程式ほうていしきを満みたすことを確認かくにんでき、2 解かいの差さは同次系どうじけいを満みたすので一意いちいである。

10時間依存行列じかんいぞんぎょうれつとの境界きょうかい

$A (t)$ が連続れんぞくなら $x^{'} = A (t) x$ の初期値問題しょきちもんだいにも一意解いちいかいがある。しかし一般いっぱんには

\exp (\int_{t_{0}}^{t} A (s) d s)

をそのまま時間発展じかんはってんとしてはならない。異ことなる時刻じこくの行列ぎょうれつが可換かかん、すなわち $A (t) A (s) = A (s) A (t)$ をすべての $s, t$ で満みたすなら、この表示ひょうじを適用てきようできる。非可換ひかかんなら行列積ぎょうれつせきの時刻順序じこくじゅんじょを保たもつ別べつの構成こうせいが必要ひつようであり、このページの $e^{A (t - t_{0})}$ は定数行列ていすうぎょうれつ $A$ に限定げんていする。

11前まえの講義こうぎ

data/lecture/math/differential-equations/euler-cauchy-and-higher-order-equations.lecture.n.md

12次つぎの講義こうぎ

data/lecture/math/differential-equations/diagonalization-jordan-form-and-systems.lecture.n.md

13演習えんしゅう

data/exercise/math/differential-equations/linear-systems-and-matrix-exponentials.exercise.n.md

14関連かんれんする既習事項きしゅうじこう

data/lecture/math/differential-equations/variation-of-parameters-and-wronskian.lecture.n.md