対角化たいかくか・Jordan 形けいと連立系れんりつけい

date2026-07-16document_iddoc_1391a6b57f52591851f8c1b3116570c4descriptionJordan 標準形と一般化固有ベクトルの鎖を、定数係数線型系の指数関数×多項式の時間発展へ翻訳する。prerequisites一階連立系と行列指数関数 / ジョルダン標準形の入口type講義content_typelecturestatusactive

mathdifferential-equationslinear-systemslecture

1この講義こうぎの役割やくわり

線型代数せんけいだいすうで学まなんだ Jordan 標準形ひょうじゅんけいを、定数係数線型系ていすうけいすうせんけいけい

x^{'} = A x, x (t_{0}) = x_{0}

の時間発展じかんはってんへ翻訳ほんやくする。 $A$ が対角化不能たいかくかふのうでも、一般化固有いっぱんかこゆうベクトルの鎖くさりを基底きていにすれば、解かいは「指数関数しすうかんすう×有限次多項式ゆうげんじたこうしき」として構成こうせいできる。

このページでは $A \in C^{n \times n}$ とする。実行列じつぎょうれつに複素固有値ふくそこゆうちがある場合ばあいは $C$ 上じょうで Jordan 化かし、共役きょうやくな複素解ふくそかいの実部じつぶ・虚部きょぶから実解じつかいを構成こうせいする。実数上じっすうじょうの Jordan 形けいはここでは扱あつかわない。

data/lecture/math/linear-algebra/introduction-to-jordan-canonical-form.lecture.n.md

2一般いっぱんの Jordan ブロックの指数しすう

大おおきさ $k$ の Jordan ブロックを

J_{k} (λ) = λ I + N, N = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{matrix})

と表あらわす。 $N^{k} = 0$ であり、 $k > 1$ なら $N^{k - 1} \neq 0$ である。 $λ I$ と $N$ は可換かかんなので、可換行列かかんぎょうれつに対たいする指数法則しすうほうそくを級数きゅうすうの二項展開にこうてんかいから適用てきようでき、

e^{J_{k} (λ) τ} = e^{λ τ} e^{N τ} = e^{λ τ} \sum_{r = 0}^{k - 1} \frac{τ^{r}}{r!} N^{r}

となる。ここで $τ = t - t_{0}$ である。冪零性べきれいせいによって無限級数むげんきゅうすうが $k$ 項こうで止とまり、 $τ^{k - 1} e^{λ τ}$ までの多項式因子たこうしきいんしが現あらわれる。

異ことなる行列ぎょうれつ $X, Y$ について $e^{X + Y} = e^{X} e^{Y}$ が常つねに成立せいりつするわけではない。ここで積せきへ分わけられる理由りゆうは、 $λ I$ と $N$ が可換かかんだからである。

3Jordan 形けいから元もとの座標ざひょうへ戻もどす

Jordan 標準形ひょうじゅんけいを

P^{- 1} A P = J

と固定こていする。したがって $A = P J P^{- 1}$ であり、前講義ぜんこうぎの行列指数ぎょうれつしすうの相似変換則そうじへんかんそくから

e^{A τ} = P e^{J τ} P^{- 1}

を得える。 $J$ が複数ふくすうの Jordan ブロックのブロック対角行列たいかくぎょうれつなら、 $e^{J τ}$ も各かくブロックの指数しすうを並ならべたブロック対角行列たいかくぎょうれつになる。よって初期値問題しょきちもんだいの解かいは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] x (t) = P e^{J (t - t_{0})} P^{- 1} x_{0}

である。

4Jordan 鎖くさりから線型独立せんけいどくりつな解かいを構成こうせいする

$λ$ に対たいする長ながさ $k$ の Jordan 鎖くさり

(A - λ I) v_{1} = 0, (A - λ I) v_{j} = v_{j - 1} (2 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] j [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] k)

を考かんがえる。 $P = [v_{1}, \dots, v_{k}]$ とすれば、この鎖くさりに対応たいおうする部分ぶぶんで $A P = P J_{k} (λ)$ になる。 $v_{j}$ を初期値しょきちとする解かいは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] x_{j} (t) = e^{λ τ} \sum_{ℓ = 0}^{j - 1} \frac{τ^{ℓ}}{ℓ!} v_{j - ℓ}

である。最初さいしょの 3 本ぼんは

\begin{aligned} \boldsymbol{x}_1(t)&=e^{\lambda\tau}v_1,\\ \boldsymbol{x}_2(t)&=e^{\lambda\tau}(v_2+\tau v_1),\\ \boldsymbol{x}_3(t)&=e^{\lambda\tau} \left(v_3+\tau v_2+\frac{\tau^2}{2}v_1\right). \end{aligned}\begin{aligned} \boldsymbol{x}_1(t)&=e^{\lambda\tau}v_1,\\ \boldsymbol{x}_2(t)&=e^{\lambda\tau}(v_2+\tau v_1),\\ \boldsymbol{x}_3(t)&=e^{\lambda\tau} \left(v_3+\tau v_2+\frac{\tau^2}{2}v_1\right). \end{aligned}

微分びぶんすると、指数関数しすうかんすうから $λ$ の項こう、多項式たこうしきから鎖くさりを 1 段だん下したがる項こうが生成せいせいされるため、 $x_{j^{'}} = A x_{j}$ を満みたす。一般化固有いっぱんかこゆうベクトルが不足ふそくした固有方向こゆうほうこうを補完ほかんし、多項式因子たこうしきいんしを生成せいせいする機構きこうはここにある。

5非ひ Jordan 座標ざひょうの具体例ぐたいれい

A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})

の特性多項式とくせいたこうしきは $(λ - 1)^{2}$ である。 $λ = 1$ の代数的重複度だいすうてきちょうふくどは 2 だが、固有空間こゆうくうかんは 1 次元じげんである。

v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}), v_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

とすると、 $(A - I) v_{1} = 0$ 、 $(A - I) v_{2} = v_{1}$ である。したがって

P = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}), J = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})

であり、

e^{A τ} = P e^{J τ} P^{- 1} = e^{τ} (\begin{matrix} 1 + τ & τ \\ - τ & 1 - τ \end{matrix}) .

特とくに $v_{1}$ からは $e^{τ} v_{1}$ 、 $v_{2}$ からは $e^{τ} (v_{2} + τ v_{1})$ が生しょうじる。行列ぎょうれつが最初さいしょから Jordan 形けいでなくても、鎖くさりを基底きていに選えらべば時間発展じかんはってんを計算けいさんできる。

6実部じつぶとブロックサイズが決きめる漸近挙動ぜんきんきょどう

$τ [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ で、 $J_{k} (λ)$ の時間発展じかんはってんはある定数ていすう $C$ により

∥ e^{J_{k} (λ) τ} ∥ [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] C (1 + τ^{k - 1}) e^{Re λ τ}

と評価ひょうかできる。

$Re λ < 0$ なら、多項式因子たこうしきいんしよりも指数減衰しすうげんすいが支配的しはいてきであり、そのブロックの解かいは 0 へ収束しゅうそくする。
$Re λ > 0$ なら、そのブロックには指数増大しすうぞうだいする方向ほうこうがある。
$Re λ = 0$ でブロックサイズが 1 なら、そのブロックの時間発展じかんはってんは有界ゆうかいである。
$Re λ = 0$ でブロックサイズが 2 以上いじょうなら、多項式因子たこうしきいんしにより非有界ひゆうかいになる初期値しょきちがある。

したがって固有値こゆうちの実部じつぶが 0 の境界きょうかいでは、固有値こゆうちだけでなく Jordan ブロックの大おおきさが必要ひつようである。次つぎの講義こうぎでは「安定あんてい」「漸近安定ぜんきんあんてい」を定義ていぎし、この有界性ゆうかいせいと収束しゅうそくを非線型系ひせんけいけいの線型化せんけいかへ接続せつぞくする。

7数値計算すうちけいさんとの境界きょうかい

Jordan ブロック構造こうぞうの数値的決定すうちてきけっていは、微小摂動びしょうせつどうに敏感びんかんである。たとえば

(\begin{matrix} λ & 1 \\ ε & λ \end{matrix})

は $ε = 0$ では 1 個この Jordan ブロックだが、 $ε \neq 0$ では固有値こゆうちが $λ \pm \sqrt{ε}$ に分裂ぶんれつする。このため Jordan 形けいは理論的分類りろんてきぶんるいに用もちい、浮動小数点計算ふどうしょうすうてんけいさんで $e^{A t}$ を求もとめるときは、Jordan ブロックを数値的すうちてきに同定どうていすることを前提ぜんていにしない。

8前まえの講義こうぎ

data/lecture/math/differential-equations/first-order-systems-and-matrix-exponentials.lecture.n.md

9演習えんしゅう

data/exercise/math/differential-equations/jordan-form-and-linear-systems.exercise.n.md

10次つぎの講義こうぎ

data/lecture/math/differential-equations/linearization-and-eigenvalue-stability.lecture.n.md