ジョルダン標準形ひょうじゅんけいの入口いりぐち

1導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、ジョルダン標準形ひょうじゅんけいは、対角化たいかくかdiagonalizationできない行列ぎょうれつmatrixを完全かんぜんに諦あきらめるのではなく、対角行列たいかくぎょうれつdiagonal matrixに近ちかい形かたちまで整理せいりする方法ほうほうであるということである。

対角化たいかくかdiagonalizationは、固有ベクトルeigenvectorだけで基底きていbasisを構成こうせいできる場合ばあいの理想形りそうけいである。しかし、固有ベクトルeigenvectorが不足ふそくする行列ぎょうれつmatrixも存在そんざいする。その場合ばあい、一般化いっぱんか固有ベクトルeigenvectorを導入どうにゅうすると、行列ぎょうれつmatrixはジョルダンブロックの直和ちょくわとして表示ひょうじできる。

2用語ようごと定義ていぎ

一般化いっぱんか固有こゆうベクトルGeneralized eigenvector とは、固有値こゆうちeigenvalue $$\lambda$$\lambda に対たいして、ある正整数せいせいすう $$k$$k で

を満みたす $$v\ne 0$$v\ne0 のことである。

ジョルダンブロックJordan block とは、

で定義ていぎされる $$k\times k$$k\times k 行列ぎょうれつmatrixである。これは

と表あらわせる。ここで $$N$$N は上隣うえどなりの成分せいぶんcomponentだけが 1 の冪零行列べきれいぎょうれつである。

3方針ほうしん

方針ほうしんは、固有値こゆうちeigenvalueごとに対角成分たいかくせいぶん $$\lambda I$$\lambda I と、対角化たいかくかdiagonalizationを妨さまたげる冪零成分べきれいせいぶん $$N$$N を分離ぶんりすることである。

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

対角行列たいかくぎょうれつdiagonal matrixでは、各基底かくきていベクトルが自分自身じぶんじしんの方向ほうこうに伸縮しんしゅくするだけである。ジョルダンブロックでは、それに加くわえて隣となりの方向ほうこうへ少量しょうりょうの混合こんごうが残のこる。

この混合こんごうが冪零成分べきれいせいぶんである。何度なんどか作用さようさせると消滅しょうめつするため、完全かんぜんな対角化たいかくかdiagonalizationではないが、構造こうぞうstructureは明確めいかくに記述きじゅつできる。

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. 標準形ひょうじゅんけい

複素数体ふくそすうたいのような代数的閉体だいすうてきへいたいの上うえでは、任意にんいの正方行列せいほうぎょうれつsquare matrix $$A$$A は、ある正則行列せいそくぎょうれつ $$P$$P によって

と表示ひょうじできる。ここで $$J$$J はジョルダンブロックを対角方向たいかくほうこうに並ならべた行列ぎょうれつmatrixである。

ジョルダン標準形ひょうじゅんけいは、ブロックの順序じゅんじょを除のぞいて一意いちいである。したがって「どの固有値こゆうちeigenvalueに、どの大おおきさのブロックがいくつ存在そんざいするか」は、基底きていbasisの選択せんたくに依存いぞんしない不変量ふへんりょうである。

5.22. 対角化たいかくかdiagonalizationとの関係かんけい

ジョルダンブロックの大おおきさがすべて 1 なら、ジョルダン標準形ひょうじゅんけいは対角行列たいかくぎょうれつdiagonal matrixである。したがって

である。

5.33. 最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialとの関係かんけい

固有値こゆうちeigenvalue $$\lambda$$\lambda に対応たいおうする最大さいだいのジョルダンブロックの大おおきさを $$s_{\lambda }$$s_\lambda とすると、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialには

が因子いんしとして表あらわれる。したがって最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialの指数しすうは、対角化たいかくかdiagonalizationからの逸脱いつだつを測定そくていする。

5.44. ジョルダン鎖さ

ジョルダンブロックを構成こうせいする基底きていbasisは、一般化いっぱんか固有ベクトルeigenvectorの列れつcolumnとして考察こうさつできる。固有値こゆうちeigenvalue $$\lambda$$\lambda に対たいして

を満みたす列れつcolumnをジョルダン鎖さという。$$v_1$$v_1 は固有ベクトルeigenvectorであり、$$v_2,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]},v_k$$v_2,\dots,v_k は一般化いっぱんか固有ベクトルeigenvectorである。この鎖くさりを基底きていbasisとして採用さいようすると、行列ぎょうれつmatrixの表示ひょうじにジョルダンブロックが現あらわれる。

5.55. 一般化固有空間いっぱんかこゆうくうかんとブロックサイズ

固有値こゆうちeigenvalue $$\lambda$$\lambda に対たいする一般化固有空間いっぱんかこゆうくうかんgeneralized eigenspaceは

である。ここで $$N$$N は十分じゅうぶんに大おおきい整数せいすうで、有限次元ゆうげんじげんでは $$N=n$$N=n としてよい。この空間くうかんは $$\lambda$$\lambda に対応たいおうするすべてのジョルダンブロックを集あつめる。

は $$\lambda$$\lambda のジョルダンブロックの個数こすうであり、

の増ふえ方かたはジョルダン鎖さの成長せいちょうを記録きろくして、ブロックサイズを決きめる。

6具体例ぐたいていれい

は $$J_2\left(1\right)$$J_2(1) そのものである。固有値こゆうちeigenvalueは $$1$$1 だけであるが、固有空間こゆうくうかんeigenspaceは

であり、次元じげんdimensionは 1 である。したがって $$R^2$$\mathbb R^2 の基底きていbasisを固有ベクトルeigenvectorだけで構成こうせいできない。

しかし

であるため、一般化いっぱんか固有ベクトルeigenvectorを導入どうにゅうすると構造こうぞうstructureを記述きじゅつできる。

この例れいでは $$v_1=e_1$$v_1=e_1、$$v_2=e_2$$v_2=e_2 とすると

である。したがって $$v_1,v_2$$v_1,v_2 は長ながさ 2 のジョルダン鎖さを構成こうせいする。$$v_2$$v_2 は固有ベクトルeigenvectorではないが、$$A-I$$A-I を 1 回かい作用さようさせると固有ベクトルeigenvectorへ移行いこうする。この構成こうせいが、不足ふそくした固有ベクトルeigenvectorを一般化いっぱんか固有ベクトルeigenvectorで補完ほかんする仕組しくみである。

7見分みわけ方かた：AM、GM、ブロック

固有値こゆうちeigenvalue $$\lambda$$\lambda について：

• 代数的重複度だいすうてきちょうふくどalgebraic multiplicityは、$$\lambda$$\lambda に対応たいおうするジョルダンブロックの大おおきさの総和そうわである。
• 幾何的重複度きかてきちょうふくどgeometric multiplicityは、$$\lambda$$\lambda に対応たいおうするジョルダンブロックの個数こすうである。
• 最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialの $$(t-\lambda )$$(t-\lambda) の指数しすうは、$$\lambda$$\lambda に対応たいおうする最大さいだいブロックサイズである。

したがって AM と GM が一致いっちすることは、すべてのブロックが大おおきさ 1 であることを意味いみする。

8数値計算上すうちけいさんじょうの注意ちゅうい

ジョルダン標準形ひょうじゅんけいは、理論上りろんじょうは強力きょうりょくである。ただし数値計算すうちけいさんでは不安定ふあんていになりやすい。そのため実際じっさいの計算けいさんでは、特異値分解とくいちぶんかいsingular value decompositionSVDやシュール分解ぶんかいが選択せんたくされることが多おおい。

9判定基準はんていきじゅん

• 固有ベクトルeigenvectorが不足ふそくするとき、一般化いっぱんか固有ベクトルeigenvectorを導入どうにゅうする。
• ジョルダンブロックの大おおきさが 1 だけなら対角化可能たいかくかかのうである。
• 最大さいだいのブロックサイズは最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialの重根じゅうこんの指数しすうに対応たいおうする。
• ジョルダン標準形ひょうじゅんけいは、ブロックの順序じゅんじょを除のぞいて一意いちいである。

10どこまで成立せいりつするか

ジョルダン標準形ひょうじゅんけいは、特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialが一次因子いちじいんしに分解ぶんかいする体たいの上うえで記述きじゅつされる。実数じっすうreal numberだけでは複素固有値ふくそこゆうちが現あらわれる場合ばあいがあるため、複素数ふくそすうcomplex numberへ拡張かくちょうして考察こうさつすることが標準ひょうじゅんである。

11存在定理そんざいていりの正確せいかくな形かたち

代数的閉体だいすうてきへいたい（たとえば $$\mathbb{C}$$\mathbb C）の上うえでは、任意にんいの正方行列せいほうぎょうれつsquare matrix $$A$$A はジョルダン標準形ひょうじゅんけいを持もつ。つまり、ある可逆行列かぎゃくぎょうれつinvertible matrix $$P$$P が存在そんざいして

と書かける。ブロックの順序じゅんじょを除のぞけば、この形かたちは一意いちいである。

この定理ていりは「対角化たいかくかできない行列ぎょうれつにも標準形ひょうじゅんけいがある」という主張しゅちょうである。ただし、実数じっすうの範囲はんいだけでは複素固有値ふくそこゆうちが不足ふそくするため、通常つうじょうは $$\mathbb{C}$$\mathbb C 上じょうで考かんがえる。

12最終形さいしゅうけい

13一般化固有空間いっぱんかこゆうくうかんとブロックサイズ

固有値こゆうちeigenvalue $$\lambda$$\lambda に対たいする一般化固有空間いっぱんかこゆうくうかんgeneralized eigenspaceは

である。ここで $$N$$N は十分じゅうぶんに大おおきい整数せいすうで、有限次元ゆうげんじげんでは $$N=n$$N=n としてよい。$$G_{\lambda }$$G_\lambda は、$$\lambda$$\lambda に対応たいおうするすべてのジョルダンブロックを集あつめた空間くうかんである。

は $$\lambda$$\lambda に対応たいおうするジョルダンブロックの個数こすうを表あらわす。一方いっぽう、$$\dim \ker (A-\lambda I{)}^r$$\dim\ker(A-\lambda I)^r は、長ながさ $$r$$r までのジョルダン鎖さがどれだけ蓄積ちくせきしているかを測はかる。この列れつの増ふえ方かたから、ブロックサイズを復元ふくげんできる。

14一言ひとことでいうと

ジョルダン標準形ひょうじゅんけいは、対角化不可能たいかくかふかのうな行列ぎょうれつmatrixを固有値こゆうちeigenvalueの部分ぶぶんと冪零成分べきれいせいぶんに分解ぶんかいして記述きじゅつする。

15計算例けいさんれい：3 次じのジョルダンブロック

とする。このとき

である。したがって

なので最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは

である。固有値こゆうちは 2 だけだが、冪零成分べきれいせいぶんの長ながさが 3 であるため、対角化たいかくかから遠とおい構造こうぞうを持もつ。

16演習えんしゅうリンク

17見分みわけ方かた：AM、GM、ブロック

固有値こゆうちeigenvalue $$\lambda$$\lambda について：

• 代数的重複度だいすうてきちょうふくどalgebraic multiplicityは、$$\lambda$$\lambda に対応たいおうするジョルダンブロックの大おおきさの総和そうわである。
• 幾何的重複度きかてきちょうふくどgeometric multiplicityは、$$\lambda$$\lambda に対応たいおうするジョルダンブロックの個数こすうである。
• 最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialの $$(t-\lambda )$$(t-\lambda) の指数しすうは、$$\lambda$$\lambda に対応たいおうする最大さいだいブロックサイズである。

したがって、AM と GM が一致いっちすることは、すべてのブロックが大おおきさ 1 であること、つまり対角化可能たいかくかかのうであることを意味いみする。

18注意ちゅうい：理論りろんと数値計算すうちけいさんの違ちがい

ジョルダン標準形ひょうじゅんけいは理論上りろんじょうの分類ぶんるいには非常ひじょうに強力きょうりょくである。しかし、固有値こゆうちが近接きんせつしている行列ぎょうれつや摂動せつどうを受うける行列ぎょうれつでは、ジョルダンブロックの大おおきさは不安定ふあんていに変化へんかしうる。そのため、実際じっさいの数値計算すうちけいさんではシュール分解ぶんかいや SVD が好このまれる。

19最終形さいしゅうけい

20一言ひとことでいうと

• ジョルダン標準形ひょうじゅんけいは、対角化たいかくかdiagonalizationできない行列ぎょうれつmatrixを、固有値こゆうちeigenvalueと冪零成分べきれいせいぶんに分解ぶんかいして記述きじゅつする標準形ひょうじゅんけいである。

21演習えんしゅうリンク

22関連かんれんリンク