最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialの基本きほん

date2026-07-14document_iddoc_e78fe37c2c8111c279b1dc10ff00a436description最小多項式を、行列を零化する多項式のうち最も基本的なものとして導入し、対角化可能性やジョルダン標準形との関係を整理する講義である。prerequisites固有値と固有ベクトル / 対角化の基本 / 行列式type講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは、行列ぎょうれつmatrixが満みたす代数的関係だいすうてきかんけいを最小限さいしょうげんに記録きろくする多項式たこうしきであるということである。

固有値こゆうちeigenvalueは行列ぎょうれつmatrixの情報じょうほうを要約ようやくするが、それだけでは対角化可能性たいかくかかのうせいを完全かんぜんには判定はんていできない。最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialを導入どうにゅうすると、同おなじ固有値こゆうちeigenvalueを持もつ行列ぎょうれつmatrixの差異さいを、重根じゅうこんの有無うむとして確認かくにんできる。

2用語ようごと定義ていぎ

最小多項式さいしょうたこうしきMinimal polynomial とは、正方行列せいほうぎょうれつsquare matrix $A$ に対たいして

m_{A} (A) = 0

を満みたす零ぜろでない多項式たこうしきのうち、次数じすうが最小さいしょうで、最高次係数さいこうじけいすうが 1 であるものをいう。

特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialを

χ_{A} (t) = \det (t I - A)

とする。ケーリー・ハミルトンの定理ていりにより

χ_{A} (A) = 0

である。したがって最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは存在そんざいし、特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialを割わる。

3方針ほうしん

方針ほうしんは、行列ぎょうれつmatrixに多項式たこうしきを代入だいにゅうする操作そうさoperationを確認かくにんし、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialの根こんと固有値こゆうちeigenvalueの関係かんけいを整理せいりすることである。

data/lecture/math/linear-algebra/eigenvalues-and-eigenvectors.lecture.n.md

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

数かず $λ$ について $(t - λ)$ が消去しょうきょするのは、 $t = λ$ という条件じょうけんである。行列ぎょうれつmatrix $A$ について $(A - λ I)$ が零ぜろになるわけではない。しかし、適切てきせつな多項式たこうしきを組くみ合あわせると、行列全体ぎょうれつぜんたいを零行列ぜろぎょうれつにできる。

最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは、そのために必要ひつような最短さいたんの式しきである。対角化可能たいかくかかのうな行列ぎょうれつmatrixでは、固有値こゆうちeigenvalueごとに 1 回かいずつ因子いんしを用意よういすれば十分じゅうぶんである。対角化たいかくかdiagonalizationできない場合ばあいは、同おなじ因子いんしが複数回ふくすうかい必要ひつようになる。

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. 特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialとの関係かんけい

最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomial $m_{A} (t)$ は特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomial $χ_{A} (t)$ を割わる。

m_{A} (t) ∣ χ_{A} (t)

したがって $m_{A} (t)$ の根こんは $A$ の固有値こゆうちeigenvalueであり、固有値こゆうちeigenvalueは $m_{A} (t)$ の根こんとして表あらわれる。

5.22. 対角化可能性たいかくかかのうせいとの関係かんけい

体たい $K$ 上じょうで $A$ の最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialが

m_{A} (t) = \prod_{i = 1}^{r} (t - λ_{i})

のように相異あいことなる一次因子いちじいんしの積せきに分解ぶんかいされるなら、 $A$ は対角化可能たいかくかかのうである。逆ぎゃくも成立せいりつする。

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] A が対角化可能 ⟺ m_{A} (t) が重根をもたない一次因子の積

この判定はんていは、固有値こゆうちeigenvalueの種類しゅるいだけでなく、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialに重複ちょうふくが必要ひつようかどうかを確認かくにんする方法ほうほうである。

6存在そんざいと一意性いちいせい

存在そんざいは Cayley-Hamilton の定理ていりから従したがう。すなわち $χ_{A} (A) = 0$ なので、 $A$ を零化れいかする非零多項式ひぜろたこうしきが少すくなくとも 1 つ存在そんざいする。

一意性いちいせいは、最小次数さいしょうじすうのモニックな零化多項式れいかたこうしきを選えらぶことから従したがう。もし $m_{1}, m_{2}$ がどちらも同おなじ最小次数さいしょうじすうで $A$ を零化れいかするなら、 $m_{1} - m_{2}$ はより低次数ていじすうの零化多項式れいかたこうしきになり、最小性さいしょうせいに反はんする。

7証明しょうめいの要点ようてん：重根じゅうこんを持もたない判定はんてい

$A = P D P^{- 1}$ と対角化たいかくかdiagonalizationできるなら、任意にんいの多項式たこうしき $f$ について

f (A) = P f (D) P^{- 1}

である。したがって $A$ を零化れいかするには、現あらわれる相異あいことなる固有値こゆうちeigenvalueで $f$ が 0 になれば十分じゅうぶんであり、

m_{A} (t) = \prod_{λ \in Spec (A)} (t - λ)

となる。ここで $Spec (A)$ は $A$ の固有値こゆうちeigenvalueの集合しゅうごうを表あらわす記号きごうである。

逆ぎゃくに $m_{A} (t)$ が相異あいことなる一次因子いちじいんしに分解ぶんかいするなら、固有空間こゆうくうかんへの射影しゃえいを多項式たこうしきで構成こうせいでき、固有ベクトルeigenvectorの基底きていbasisが得えられる。ここでいう射影しゃえいは、内積ないせきから定義ていぎする直交射影ちょっこうしゃえいorthogonal projectionではなく、ベクトルを各かく固有空間こゆうくうかんの成分せいぶんへ分わける線型写像せんけいしゃぞうlinear mapである。

8具体例ぐたいていれい

8.11. 対角行列たいかくぎょうれつdiagonal matrix

A = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix})

では

(A - 2 I) (A - 3 I) = 0

である。したがって

m_{A} (t) = (t - 2) (t - 3)

である。

8.22. ジョルダンブロック

ここでは次つぎの講義こうぎへの準備じゅんびとして、対角化たいかくかできない最小さいしょうの例れいを「ジョルダンブロック」と呼よぶ。

B = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})

とする。このとき

B - I = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})

は零行列ぜろぎょうれつではないが、

(B - I)^{2} = 0

である。したがって

m_{B} (t) = (t - 1)^{2}

である。重根じゅうこんが現あらわれるため、 $B$ は対角化可能たいかくかかのうではない。

8.33. 同おなじ特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialで異ことなる最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomial

A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})

はどちらも特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialが $(t - 1)^{2}$ である。しかし

m_{A} (t) = t - 1, m_{B} (t) = (t - 1)^{2}

である。最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは、固有値こゆうちeigenvalueの一覧いちらんだけでは見みえない非対角化可能ひたいかくかかのうなジョルダン構造こうぞうを検出けんしゅつする。

9別べつの観点かんてん：冪べきpowerの還元かんげんとジョルダン標準形ひょうじゅんけい

最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは、線型変換せんけいへんかんlinear transformationが生成せいせいする代数だいすうの関係式かんけいしきである。たとえば $A^{k}$ を計算けいさんするとき、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialが分わかれば高次こうじの冪べきを低次ていじの冪べきへ還元かんげんできる。

ジョルダン標準形ひょうじゅんけいが使つかえる場合ばあい、 $m_{A} (t)$ における $(t - λ)$ の指数しすうは、 $λ$ に対応たいおうする最大さいだいのジョルダンブロックJordan blockの大おおきさに等ひとしい。特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialはブロックの大おおきさの総和そうわを数かぞえるのに対たいして、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは各かく固有値こゆうちeigenvalueについて最大さいだいブロック長ちょうを記録きろくする。

data/lecture/math/linear-algebra/introduction-to-jordan-canonical-form.lecture.n.md

同伴行列どうはんぎょうれつcompanion matrixは、指定していした多項式たこうしきpolynomialを特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialにもつ行列ぎょうれつmatrixを構成こうせいする例れいであり、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialとの関係かんけいも次つぎの講義こうぎで確認かくにんする。

data/lecture/math/linear-algebra/companion-matrix-basics.lecture.n.md

10別べつの観点かんてん

最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは、線型変換せんけいへんかんlinear transformationが生成せいせいする代数だいすうの基本関係式きほんかんけいしきである。 $m_{A} (t)$ を知しると、 $A$ の高たかい冪べきを低ひくい冪べきへ還元かんげんできる。

11判定基準はんていきじゅん

最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは、 $m_{A} (A) = 0$ を満みたす最小次数さいしょうじすうのモニック多項式たこうしきである。
最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialを割わる。
対角化可能性たいかくかかのうせいは、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialが重根じゅうこんを持もたないことと対応たいおうする。
ジョルダン標準形ひょうじゅんけいでは、最大さいだいのブロックサイズが最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialの指数しすうに反映はんえいされる。

12どこまで成立せいりつするか

一次因子いちじいんしへの分解ぶんかいを用もちいる主張しゅちょうは、考察こうさつする体たいの上うえで多項式たこうしきが分解ぶんかいすることを前提ぜんていにする。実数じっすうreal numberだけでは分解ぶんかいしない場合ばあいも、複素数ふくそすうcomplex numberへ拡張かくちょうすると分解ぶんかいできることがある。

13存在そんざいと一意性いちいせいの確認かくにん

最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは必かならず存在そんざいし、一意いちいである。存在そんざいは Cayley-Hamilton の定理ていりから従したがう。なぜなら特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomial $χ_{A} (t)$ が

χ_{A} (A) = 0

を満みたすため、零化れいかする多項式たこうしきが少すくなくとも 1 つ存在そんざいするからである。

一意性いちいせいは、最高次係数さいこうじけいすうを 1 に固定こていした最小次数さいしょうじすうの多項式たこうしきを取とることで得えられる。もし同おなじ最小次数さいしょうじすうのモニック多項式たこうしき $m_{1}, m_{2}$ が両方りょうほう $A$ を零化れいかするなら、 $m_{1} - m_{2}$ は次数じすうが小ちいさい零化多項式れいかたこうしきになる。これは最小性さいしょうせいに反はんするため、 $m_{1} = m_{2}$ である。

14証明しょうめいの要点ようてん：重根じゅうこんがないことと対角化たいかくかdiagonalization

$A$ が対角化可能たいかくかかのうで $A = P D P^{- 1}$ 、 $D = diag (λ_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], λ_{n})$ とする。このとき多項式たこうしき $f$ について

f (A) = P f (D) P^{- 1}

であり、 $f (D)$ は対角成分たいかくせいぶん $f (λ_{i})$ を並ならべた対角行列たいかくぎょうれつdiagonal matrixである。したがって $A$ を零化れいかするには、現あらわれるすべての固有値こゆうちeigenvalue $λ_{i}$ について $f (λ_{i}) = 0$ で十分じゅうぶんである。よって最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは

m_{A} (t) = \prod_{λ \in Spec (A)} (t - λ)

となり、重根じゅうこんを持もたない。

逆ぎゃくに、 $m_{A} (t)$ が相異あいことなる一次因子いちじいんしの積せきに分解ぶんかいするなら、各かく固有値こゆうちeigenvalueに対応たいおうする射影しゃえいを多項式たこうしきで構成こうせいでき、空間くうかんは固有空間こゆうくうかんeigenspaceの直和ちょくわに分解ぶんかいする。したがって固有こゆうベクトルeigenvectorからなる基底きていbasisが存在そんざいし、 $A$ は対角化可能たいかくかかのうである。

15ジョルダン標準形ひょうじゅんけいとの対応たいおう

ジョルダン標準形ひょうじゅんけいが使つかえる場合ばあい、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは各かく固有値こゆうちeigenvalueについて最大さいだいのジョルダンブロックの大おおきさを記録きろくする。たとえば $λ$ に対応たいおうする最大さいだいブロックが大おおきさ 3 なら、 $m_{A} (t)$ には $(t - λ)^{3}$ が現あらわれる。

つまり、特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialはブロックの総量そうりょうを数かぞえ、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは最大さいだいブロックの長ながさを測はかる。対角化可能たいかくかかのうとは、すべての最大さいだいブロックの長ながさが 1 であることに等ひとしい。