5厳密な説明
5.11. 根から固有ベクトルを作る
p(\lambda)=0 とする。
v(\lambda)=
\begin{pmatrix}
1\\
\lambda\\
\lambda^2\\
\vdots\\
\lambda^{n-1}
\end{pmatrix}
と置く。C_pv(\lambda) の第 1 成分から第 n-1 成分までは、それぞれ
\lambda,\lambda^2,\ldots,\lambda^{n-1}
である。これは \lambda v(\lambda) の第 1 成分から第 n-1 成分に一致する。
最後の成分は
-c_0-c_1\lambda-\cdots-c_{n-1}\lambda^{n-1}
である。p(\lambda)=0 より
\lambda^n+c_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+c_1\lambda+c_0=0
なので、
-c_0-c_1\lambda-\cdots-c_{n-1}\lambda^{n-1}=\lambda^n
である。これは \lambda v(\lambda) の最後の成分である。よって
C_pv(\lambda)=\lambda v(\lambda)
であり、\lambda は C_p の固有値である。
5.22. 固有値から根を得る
C_px=\lambda x とし、x=(x_1,\ldots,x_n)^T\ne0 とする。最初の n-1 行から
x_2=\lambda x_1,\quad x_3=\lambda x_2,\quad \ldots,\quad x_n=\lambda x_{n-1}
である。もし x_1=0 なら、順に x_2=\cdots=x_n=0 となり、x\ne0 に反する。したがって x_1\ne0 であり、
x=x_1
\begin{pmatrix}
1\\ \lambda\\ \lambda^2\\ \vdots\\ \lambda^{n-1}
\end{pmatrix}
である。最後の行を使うと
-c_0x_1-c_1x_2-\cdots-c_{n-1}x_n=\lambda x_n
である。x_k=x_1\lambda^{k-1} を代入し、x_1\ne0 で割ると
-c_0-c_1\lambda-\cdots-c_{n-1}\lambda^{n-1}=\lambda^n
となる。したがって
p(\lambda)=0
である。
5.33. 特性多項式が p(t) になる理由
上の 2 つの証明により、C_p の固有値は p(t) の根と一致する。しかし重複度まで含めて特性多項式が p(t) に等しいことも確認する。
M=C_p^T とする。転置で特性多項式は変わらないので、\chi_{C_p}(t)=\chi_M(t) である。
M は標準基底 e_1,\ldots,e_n に対して
Me_1=e_2,\quad Me_2=e_3,\quad \ldots,\quad Me_{n-1}=e_n
かつ
Me_n=-c_0e_1-c_1e_2-\cdots-c_{n-1}e_n
を満たす。したがって
p(M)e_1=0
である。さらに e_1,Me_1,\ldots,M^{n-1}e_1 は e_1,\ldots,e_n そのものなので、基底である。p(M) は M と可換であるため、p(M) はこの基底の各ベクトルを 0 へ送る。よって
p(M)=0
である。
一方、次数が n 未満の非零多項式 q について、q(M)e_1 は e_1,\ldots,e_n の非自明な線型結合になるため 0 ではない。したがって M の最小多項式は p(t) である。
最小多項式は特性多項式を割り、どちらもモニックな n 次多項式である。よって
\chi_M(t)=p(t)
である。したがって
\chi_{C_p}(t)=p(t)
である。