5厳密な説明
5.11. 余因子展開の定理
A を n\times n 正方行列とする。任意の第 i 行について、
\det A=\sum_{j=1}^n a_{ij}C_{ij}
が成立する。また、任意の第 j 列について、
\det A=\sum_{i=1}^n a_{ij}C_{ij}
が成立する。
5.22. 行展開の証明
置換による定義から出発する。
\det A
=
\sum_{\sigma\in S_n}
\operatorname{sgn}(\sigma)
a_{1\sigma(1)}\cdots a_{i\sigma(i)}\cdots a_{n\sigma(n)}
この和を、\sigma(i)=j となる j ごとに分割する。\sigma(i)=j の項では、必ず a_{ij} が因子として現れる。
第 i 行を先頭へ移動するには i-1 回の隣接交換が必要である。第 j 列を先頭へ移動するには j-1 回の隣接交換が必要である。したがって、この取り出しで現れる符号は
(-1)^{(i-1)+(j-1)}=(-1)^{i+j}
である。
残った行と列についての選択は、まさに A^{(i|j)} の置換による行列式である。したがって、\sigma(i)=j の群の和は
a_{ij}(-1)^{i+j}\det A^{(i|j)}=a_{ij}C_{ij}
である。j=1,\ldots,n について足し合わせると、
\det A=\sum_{j=1}^n a_{ij}C_{ij}
を得る。
5.33. 列展開の証明
列での展開も同様である。あるいは、置換の定義から \det A=\det A^T が従うことを使って、A^T の行展開を A の列展開として読み替えればよい。
\det A=\det A^T は、置換 \sigma と逆置換 \sigma^{-1} を対応させることで確認できる。\operatorname{sgn}(\sigma)=\operatorname{sgn}(\sigma^{-1}) であり、積の因子は順序を入れ替えても同じである。
5.44. 随伴行列の恒等式
随伴行列は、余因子を転置して並べた行列である。ここで示す恒等式は
A\operatorname{adj}(A)=\operatorname{adj}(A)A=(\det A)I
である。
まず A\operatorname{adj}(A) の (i,k) 成分を計算する。\operatorname{adj}(A) の (j,k) 成分は C_{kj} なので、
(A\operatorname{adj}(A))_{ik}
=
\sum_{j=1}^n a_{ij}C_{kj}
である。i=k のとき、これは第 i 行による余因子展開であり、\det A に等しい。
i\ne k のとき、第 k 行を第 i 行で置き換えた行列を B とする。B は第 i 行と第 k 行が等しいので、\det B=0 である。一方、B を第 k 行で展開すると、
\det B=\sum_{j=1}^n a_{ij}C_{kj}
である。したがって (A\operatorname{adj}(A))_{ik}=0 である。
以上より、A\operatorname{adj}(A) は対角成分が \det A、非対角成分が 0 の行列である。すなわち
A\operatorname{adj}(A)=(\det A)I
である。\operatorname{adj}(A)A=(\det A)I も、列展開を使って同様に証明できる。
5.55. 逆行列の公式
\det A\ne0 とする。このとき、実数または複素数では \det A で割ることができる。したがって前節の恒等式を \det A で割ると、
A\left(\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)\right)=I,
\qquad
\left(\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)\right)A=I
となる。よって
A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)
である。
逆に、A が可逆なら、積の公式より
\det A\cdot\det(A^{-1})=\det I=1
である。したがって \det A\ne0 である。ゆえに
A\text{ は可逆}\iff \det A\ne0
が成立する。