行列式ぎょうれつしきdeterminant

1導入どうにゅう

この講義こうぎで中心ちゅうしんに置おく発想はっそうは、行列式ぎょうれつしきdeterminantを単たんなる計算規則けいさんきそくではなく、「面積めんせきや体積たいせきをどれだけ伸のばすか」と「逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixがあるか」を同時どうじに判定はんていする量りょうとして理解りかいすることである。

2用語ようごと定義ていぎ

行列式ぎょうれつしきDeterminant は、$$n\times n$$n\times n 行列ぎょうれつmatrixに対たいして定さだまる数すうで、2 次じでは

である。

3方針ほうしん

2 次じでは平行四辺形へいこうしへんけいの面積めんせきから導入どうにゅうし、つぎに連立一次方程式れんりついちじほうていしきsystem of linear equationsや逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixとの接続せつぞくを確認かくにんする。さらに高次元こうじげんでは、多重線型性たじゅうせんけいせいmultilinearity・交代性こうたいせい・正規化せいきかという定義原理ていぎげんりで特徴とくちょうづける。

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

列れつベクトルcolumn vectorを 2 本ほん並ならべると、平行四辺形へいこうしへんけいが定さだまる。行列式ぎょうれつしきdeterminantの絶対値ぜったいちは、その面積めんせきである。より一般いっぱんに、$$R^2$$\mathbb R^2 では $$\left|\det A\right|$$|\det A| が線型写像せんけいしゃぞうlinear map $$x\mapsto Ax$$x\mapsto Ax による面積めんせきの倍率ばいりつであり、$$R^3$$\mathbb R^3 では体積たいせきの倍率ばいりつである。符号ふごうは向むきを記録きろくし、負ふなら向むきを反転はんてんし、正せいなら保たもつ。

したがって $$\det A=0$$\det A=0 とは、面積めんせきや体積たいせきが 0 に潰つぶれるということである。2 次じでは、2 本ほんの列れつcolumnが一直線上いっちょくせんじょうに潰つぶれている。方向ほうこうが失うしなわれているので、このとき逆ぎゃくには復元ふくげんできない。

5計算例けいさんれい

たとえば

では、

である。これは、単位正方形たんいせいほうけいの形かたちを変かえながら、面積倍率めんせきばいりつを 1 に保たもつと読よめる。

また

では、

である。列れつcolumnが比例ひれいしているので、平面へいめんは直線ちょくせんに潰つぶれ、この変換へんかんは可逆かぎゃくinvertibleではない。

6厳密げんみつな説明せつめい

6.11. 2 次じの公式こうしき

に対たいして

である。

6.22. なぜ 0 が特別とくべつか

$$\det A\ne 0$$\det A\neq 0 なら、$$A^{-1}$$A^{-1} が存在そんざいし、

と表示ひょうじできる。したがって $$\det A=0$$\det A=0 では分母ぶんぼが 0 になり、逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixを構成こうせいできない。

6.33. 具体例ぐたいれい

なら

である。これは面積めんせきを 1 倍ばいのまま保たもちつつ、形かたちだけを変かえていると解釈かいしゃくできる。

一方いっぽう

では

である。列れつcolumnが比例ひれいしていて、平面へいめんを直線ちょくせんへ潰つぶす。

6.44. 高次元こうじげんでの定義原理ていぎげんり

一般いっぱんの $$n\times n$$n\times n 行列ぎょうれつmatrixの行列式ぎょうれつしきdeterminantは、2 次じの公式こうしき $$ad-bc$$ad-bc を形かたちだけ伸のばしたものではない。本質ほんしつは、列れつベクトルcolumn vectorが構成こうせいする向むき付づけられた体積たいせきoriented volumeを測定そくていする関数かんすうとして、次つぎの 3 条件じょうけんで特徴とくちょうづけられることにある。

1. 各列かくれつについて線型せんけいlinearである。
2. 2 本ほんの列れつcolumnが等ひとしいと 0 になる。列れつcolumnを交換こうかんすると符号ふごうsignが反転はんてんする。
3. $$\det I=1$$\det I=1 である。

この 3 条件じょうけんを満みたす関数かんすうは一意いちいに決きまる。実際じっさいには、置換ちかんpermutationを用もちいて

と定義ていぎする。ここで $S_n$S_n は $\{1,\dots ,n\}$\{1,\ldots,n\} のすべての置換ちかんpermutationの集合しゅうごうであり、$\mathrm{sgn}\left(\sigma \right)$\operatorname{sgn}(\sigma) は置換ちかんpermutationの偶奇ぐうきから決きまる符号ふごうsignである。各項かくこうは、各行かくぎょうから 1 個こずつ、かつ各列かくれつから 1 個こずつ成分せいぶんを選えらぶ選択せんたくを表あらわす。

この式しきの詳くわしい意味いみと、多重線型性たじゅうせんけいせいmultilinearity・交代性こうたいせい・積せきの公式こうしきの証明しょうめいは次つぎの講義こうぎで扱あつかう。

7別べつの観点かんてん

幾何的きかてきには面積めんせき・体積たいせきの伸縮率しんしゅくりつである。代数的だいすうてきには逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixの存在条件そんざいじょうけんである。連立一次方程式れんりついちじほうていしきsystem of linear equationsの立場たちばでは、「解かいが 1 つに決定けっていされるか」を判定はんていする量りょうである。

8判定基準はんていきじゅん

• 逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixの存在そんざい、連立一次方程式れんりついちじほうていしきsystem of linear equationsの一意解いちいかい、面積めんせきや体積たいせきの伸縮しんしゅくが問とわれたら行列式ぎょうれつしきdeterminantを検討けんとうする。
• 正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixの列れつベクトルcolumn vectorどうしが独立どくりつindependentかどうかを数値すうちで判定はんていしたいときにも、行列式ぎょうれつしきdeterminantが有効ゆうこうである。

9どこまで成立せいりつするか

2 次じや 3 次じでは公式こうしきを直接ちょくせつ記述きじゅつできるが、高次元こうじげんでは置換ちかんや余因子展開よいんしてんかいなどの定義ていぎが必要ひつようになる。この場合ばあいにおいても「体積たいせきの伸縮しんしゅくと可逆性かぎゃくせいを判定はんていする」という本質ほんしつは変かわらない。

10定理ていりの見通みとおし：行列式ぎょうれつしきdeterminantと可逆性かぎゃくせいinvertibility

$$n\times n$$n\times n 行列ぎょうれつ $$A$$A について、

である。この時点じてんでは、これは後続こうぞくの講義こうぎで証明しょうめいする目標もくひょうとして読よむ。行基本変形ぎょうきほんへんけいによる行列式ぎょうれつしきdeterminantの変化へんかを追跡ついせきすると、掃はき出だしでこの同値どうちを証明しょうめいできる。また、余因子よいんしcofactorから随伴行列ずいはんぎょうれつadjugate matrixを作つくると、$\det A\ne 0$\det A\ne0 なら

という具体的ぐたいてきな逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixの公式こうしきが得えられる。詳くわしい証明しょうめいは次つぎの 2 講義こうぎで扱あつかう。

11よくある誤解ごかい

• 行列式ぎょうれつしきdeterminantは正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixに対たいして定義ていぎされる。
• 行列式ぎょうれつしきdeterminantは公式こうしきだけではなく、可逆性かぎゃくせいinvertibilityと体積たいせきの伸縮しんしゅくを記録きろくする。
• $$\det A=0$$\det A=0 は計算失敗けいさんしっぱいではなく、構造的こうぞうてきな情報じょうほうである。

12最終形さいしゅうけい

13一言ひとことでいうと

• 行列式ぎょうれつしきdeterminantは、空間くうかんをどれだけ潰つぶすか、どれだけ伸長しんちょうするかを表あらわす数すうである。
• 0 になると逆ぎゃくには復元ふくげんできない。

14演習えんしゅうリンク

15関連かんれんリンク