線型写像せんけいしゃぞうlinear mapと行列ぎょうれつmatrix

1導入どうにゅう

線型代数せんけいだいすうlinear algebraで中心ちゅうしんに置おく発想はっそうは、行列ぎょうれつmatrixを数表すうひょうとしてではなく、「ベクトルvectorをどう移うつすか」を表あらわした座標表示ざひょうひょうじcoordinate representationとして理解りかいすることである。

行列ぎょうれつmatrixの計算けいさんcalculationだけを追跡ついせきすると、掛かけ算ざんや成分せいぶんcomponent計算けいさんcalculationの規則きそくruleだけが残存ざんそんする。しかし本体ほんたいは、空間くうかんspaceの中なかでベクトルvectorをどう変換へんかんtransformationするかという作用さようactionである。この講義こうぎでは、基底きていbasisの像ぞうimageから行列ぎょうれつmatrixが決定けっていされることと、列れつベクトルcolumn vectorが何なにを表あらわしているかを接続せつぞくする。

2用語ようごと定義ていぎ

線型写像せんけいしゃぞうlinear map とは、ベクトルvectorの加法かほうadditionとスカラー倍ばいscalar multiplicationを保たもつ写像しゃぞうmapである。正確せいかくには、すべてのベクトルvector $u,v$u,v とすべてのスカラーscalar $c$c について

を満みたす写像しゃぞうmapである。

前半ぜんはんの

を加法性かほうせいadditivity という。これは「先さきに足たしてから写うつしても、先さきに写うつしてから足たしても同おなじ」という条件じょうけんconditionである。幾何的きかてきgeometricには、ベクトルvectorの平行四辺形へいこうしへんけいparallelogramの合成ごうせいcompositionのしかたを壊こわさない、という意味いみになる。

後半こうはんの

を同次性どうじせいhomogeneity という。これは「先さきに $c$c 倍ばいしてから写うつしても、写うつしてから $c$c 倍ばいしても同おなじ」という条件じょうけんconditionである。幾何的きかてきgeometricには、原点げんてんoriginを通とおる直線ちょくせんlineの上うえでの倍率ばいりつscale factorの関係かんけいrelationを保たもつ、という意味いみになる。

線型性せんけいせいlinearityとは、この加法性かほうせいadditivityと同次性どうじせいhomogeneityを同時どうじに満みたす性質せいしつpropertyである。どちらか片方かたほうだけでは十分じゅうぶんではない。線型写像せんけいしゃぞうlinear mapでは、より一般いっぱんに

が成立せいりつする。つまり、線型結合せんけいけつごうlinear combinationを作つくってから写うつすことと、各かくベクトルvectorを写うつしてから同おなじ係数けいすうcoefficientで線型結合せんけいけつごうlinear combinationすることが一致いっちする。

この性質せいしつpropertyがあるから、基底きていベクトルbasis vectorの行ゆき先さきだけで写像しゃぞうmap全体ぜんたいが決きまる。逆ぎゃくにいうと、線型性せんけいせいlinearityがなければ、基底きていbasisの像ぞうimageを知しっても、それらの和わsumやスカラー倍ばいscalar multiplicationがどこへ行いくかを復元ふくげんできない。

線型写像せんけいしゃぞうlinear mapが保存ほぞんするのは、和わsum、スカラー倍ばいscalar multiplication、線型結合せんけいけつごうlinear combination、部分空間ぶぶんくうかんsubspaceとしての構造こうぞうstructureである。ただし、すべてをそのまま保たもつわけではない。異ことなるベクトルvectorが同おなじベクトルvectorへ潰つぶれることはあり、長ながさlength・角度かくどangle・面積めんせきarea・体積たいせきvolumeも一般いっぱんには変化へんかする。したがって、線型写像せんけいしゃぞうlinear mapは「空間くうかんspaceの加法かほうadditionと倍率ばいりつscale factorの骨組ほねぐみを保たもつ変換へんかんtransformation」だと理解りかいするとよい。

行列ぎょうれつmatrix は、ある基底きていbasisを選択せんたくしたときの線型写像せんけいしゃぞうlinear mapの表現ひょうげんrepresentationである。

座標写像ざひょうしゃぞうcoordinate map とは、基底きていbasis $$B$$B に関かんしてベクトルvector $$v$$v を座標ざひょうベクトルcoordinate vector $$[v{]}_B$$[v]_B へ対応たいおうさせる写像しゃぞうmapである。

表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrix とは、線型写像せんけいしゃぞうlinear map $$T:V\to W$$T:V\to W を、定義域ていぎいきdomainの基底きていbasis $$B$$B と終域しゅういきcodomainの基底きていbasis $$C$$C に関かんする座標ざひょうcoordinateで記述きじゅつした行列ぎょうれつmatrixである。

3方針ほうしん

線型写像せんけいしゃぞうlinear mapを理解りかいするときは、まず基底きていベクトルbasis vectorがどう移うつるかを確認かくにんする。あとは線型性せんけいせいlinearityにより全体ぜんたいが決定けっていされる。

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

4.11. 写像しゃぞうmapとしての解釈かいしゃく

線型写像せんけいしゃぞうlinear mapは、原点げんてんoriginを原点げんてんoriginへ保たもち、和わsumとスカラー倍ばいscalar multiplicationを保たもつ変換へんかんtransformationである。原点げんてんoriginを通とおる直線ちょくせんlineは直線ちょくせんlineまたは 1 点てんpointへ移うつる。拡大かくだいexpansion、縮小しゅくしょうcontraction、回転かいてんrotation、せん断だんshearは、どれも線型写像せんけいしゃぞうlinear mapの典型例てんけいれいである。

この定義ていぎdefinitionを採とる理由りゆうは、ベクトルvectorの和わsumと定数倍ていすうばいscalar multipleという空間くうかんspaceの基本操作きほんそうさbasic operationを壊こわさない変換へんかんtransformationだけを抽出ちゅうしゅつするためである。これにより、基底きていbasisの像ぞうimageから全体ぜんたいを復元ふくげんできる。

4.22. 列れつベクトルcolumn vectorの意味いみ

行列ぎょうれつmatrixの列れつcolumnをただの数字すうじの並ならびとして処理しょりすると、その意味いみが不明瞭ふめいりょうになる。一般いっぱんの基底きていbasisでは、各列かくれつeach columnは「基底きていベクトルbasis vector 1 本ほんの像ぞうimageそのもの」ではなく、終域しゅういきcodomainの基底きていbasisに関かんする座標ざひょうcoordinateである。標準基底ひょうじゅんきていstandard basisの場合ばあいだけ、列れつcolumnが像ぞうimageそのものとして解釈かいしゃくできる。

4.33. 計算けいさんcalculationとのつながり

座標ざひょうベクトルcoordinate vectorに行列ぎょうれつmatrixを掛かけるときは、入力にゅうりょくベクトルinput vectorの係数けいすうcoefficientを用もちいて、基底きていbasisの像ぞうimageを線型結合せんけいけつごうlinear combinationしている。つまり、行列積ぎょうれつせきmatrix productは謎なぞの規則きそくruleではなく、「基底きていbasisの像ぞうimageを組くみ合あわせて出力しゅつりょくoutputを構成こうせいする」操作そうさoperationそのものである。

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. 基底きていbasisの像ぞうimageで写像しゃぞうmapが決きまる

基底きていbasis $$e_1,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]},e_n$$e_1,\dots,e_n を採用さいようすると、任意にんいのベクトルvector $$v$$v は

と表示ひょうじできる。すると線型性せんけいせいlinearityにより

である。したがって $$T\left(e_i\right)$$T(e_i) が判明はんめいすれば $$T$$T は完全かんぜんに決定けっていされる。

ここで直感的ちょっかんてきな説明せつめいで示しめした「列れつcolumnが基底きていbasisの像ぞうimageを表あらわす」という主張しゅちょうが、ちょうどこの式しきequationに対応たいおうする。

5.22. 行列ぎょうれつmatrixの列れつcolumnは何なにか

まず標準基底ひょうじゅんきていstandard basisで考察こうさつする。この $$T\left(e_i\right)$$T(e_i) を列れつcolumnとして並ならべたものが、線型写像せんけいしゃぞうlinear mapの行列ぎょうれつmatrixである。つまり

と解釈かいしゃくできる、ということである。

すると入力にゅうりょくベクトルinput vector $$x=(x_1,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]},x_n{)}^T$$x=(x_1,\dots,x_n)^T に対たいして

となり、行列積ぎょうれつせきmatrix productが列れつベクトルcolumn vectorの線型結合せんけいけつごうlinear combinationになっていることを確認かくにんできる。

つまり行列積ぎょうれつせきmatrix productの定義ていぎdefinitionも、「基底きていbasisの像ぞうimageを入力にゅうりょくinputの係数けいすうcoefficientで組くみ合あわせる」と解釈かいしゃくできるように設定せっていされている、ということである。ここが「なぜこの掛かけ算ざんなのか」への回答かいとうである。

この解釈かいしゃくを確認かくにんすると、行列積ぎょうれつせきmatrix product $$AB$$AB も「まず $$B$$B を適用てきようapplicationし、その結果けっかに $$A$$A を適用てきようapplicationする」という合成写像ごうせいしゃぞうcomposite mapの表現ひょうげんrepresentationだと理解りかいできる。つまり行列積ぎょうれつせきmatrix productの順序じゅんじょorderが重要じゅうようなのは、写像しゃぞうmapの合成ごうせいcompositionの順序じゅんじょorderが重要じゅうようであるためである。

5.33. 座標写像ざひょうしゃぞうcoordinate mapと表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrix

定義域ていぎいきdomain $$V$$V の順序付じゅんじょづき基底きていordered basisを

終域しゅういきcodomain $$W$$W の順序付じゅんじょづき基底きていordered basisを

とする。基底きていbasis $$B$$B を選択せんたくすると、座標写像ざひょうしゃぞうcoordinate map

が定義ていぎされる。同様どうように $$C$$C から

が定義ていぎされる。ここで $$F$$F は実数体じっすうたいreal fieldまたは複素数体ふくそすうたいcomplex fieldである。

このとき線型写像せんけいしゃぞうlinear map $$T:V\to W$$T:V\to W の表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrix $$[T{]}_{C\leftarrow B}$$[T]_{C\leftarrow B} は、

を任意にんいの $$x\in V$$x\in V について満みたす唯一ゆいいつの $$m\times n$$m\times n 行列ぎょうれつmatrixとして定義ていぎされる。矢印やじるし $$C\leftarrow B$$C\leftarrow B は、$$B$$B の座標ざひょうcoordinateから $$C$$C の座標ざひょうcoordinateへ変換へんかんtransformationすることを表あらわす。

各かく $$j$$j について

と表示ひょうじしたとき、係数けいすうcoefficient $$a_{ij}$$a_{ij} を並ならべた

が $$[T{]}_{C\leftarrow B}$$[T]_{C\leftarrow B} である。このとき $$A$$A の第だい $$j$$j 列れつcolumnは、$$T\left(v_j\right)$$T(v_j) そのものではない。正確せいかくには

である。したがって、行列ぎょうれつmatrixは線型写像せんけいしゃぞうlinear mapそのものではなく、定義域ていぎいきdomainと終域しゅういきcodomainの基底きていbasisを選択せんたくした後あとに得えられる座標表示ざひょうひょうじcoordinate representationである。

5.44. 合成ごうせいcompositionと行列積ぎょうれつせきmatrix product

線型写像せんけいしゃぞうlinear map

を考察こうさつする。$$V,W,Z$$V,W,Z の基底きていbasisをそれぞれ $$B,C,D$$B,C,D とすると、合成写像ごうせいしゃぞうcomposite map $$S\circ T:V\to Z$$S\circ T:V\to Z の表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixは

である。順序じゅんじょorderは右みぎから左ひだりへ作用さようactionする。すなわち、まず $$[T{]}_{C\leftarrow B}$$[T]_{C\leftarrow B} が $$B$$B 座標ざひょうcoordinateを $$C$$C 座標ざひょうcoordinateへ変換へんかんtransformationし、つぎに $$[S{]}_{D\leftarrow C}$$[S]_{D\leftarrow C} が $$C$$C 座標ざひょうcoordinateを $$D$$D 座標ざひょうcoordinateへ変換へんかんtransformationする。

したがって行列積ぎょうれつせきmatrix productの順序じゅんじょorderが逆向ぎゃくむきに感かんじられる理由りゆうは、関数合成かんすうごうせいfunction compositionの記法きほうnotationで「先さきに適用てきようapplicationする写像しゃぞうmap」を右側みぎがわに置おくためである。行列積ぎょうれつせきmatrix productは単たんなる成分計算せいぶんけいさんcomponent calculationではなく、座標表示ざひょうひょうじcoordinate representationされた写像しゃぞうmapの合成ごうせいcompositionである。

5.55. 標準基底ひょうじゅんきていstandard basisでの具体例ぐたいれい

たとえば $$R^2$$\mathbb R^2 で

なら、行列ぎょうれつmatrixは

である。したがって

となる。この具体例ぐたいれいで確認かくにんできるのは、行列ぎょうれつmatrixの各列かくれつeach columnが写像しゃぞうmapの作用さようactionを直接ちょくせつ保持ほじしている、ということである。

5.66. 非標準基底ひひょうじゅんきていnonstandard basisでの具体例ぐたいれい

同一どういつsameの写像しゃぞうmapであっても、基底きていbasisを変更へんこうchangeすると表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixは変化へんかchangeする。$$R^2$$\mathbb R^2 の線型写像せんけいしゃぞうlinear map

を考察こうさつする。標準基底ひょうじゅんきていstandard basisでは

である。

つぎに非標準基底ひひょうじゅんきていnonstandard basis

を採用さいようする。このとき

であり、

である。したがって $$B$$B に関かんする表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixは

となる。

具体ぐたいconcreteなベクトルvector $$x=(3,1{)}^T$$x=(3,1)^T で確認かくにんする。これは

である。したがって

である。この座標ざひょうは

を表あらわす。一方いっぽう、写像しゃぞうmapを直接ちょくせつ適用てきようapplicationしても

を得える。したがって変化へんかchangeしたのは写像しゃぞうmapではなく、座標系ざひょうけいcoordinate systemと表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixである。

5.77. 基底きていbasisを変かえると表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixはどう変かわるか

順序上じゅんじょじょうの注意ちゅういとして、この小節しょうせつは後続こうぞくの基底変換きていへんかんchange of basis・相似そうじsimilarity・固有値こゆうちeigenvalueへの先取さきどりである。ここでの $$P^{-1}$$P^{-1} は $$P^{-1}P=P{P}^{-1}=I$$P^{-1}P=PP^{-1}=I を満みたす逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrix、相似そうじsimilarityは $$A_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}=P^{-1}{A}_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}P$$A_{\mathrm{new}}=P^{-1}A_{\mathrm{old}}P で結むすばれる関係かんけいを意味いみする。固有値こゆうちeigenvalue、特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomial、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialが相似そうじsimilarityで保存ほぞんされる証明しょうめいは、後続こうぞくの講義こうぎで行おこなう。

同おなじ空間くうかんspace $$V$$V の旧基底きゅうきていold basisと新基底しんきていnew basisを考察こうさつする。座標変換行列ざひょうへんかんぎょうれつchange-of-coordinates matrix $$P$$P が

を満みたすとする。$$T:V\to V$$T:V\to V の旧基底きゅうきていold basisでの表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixを $$A_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}$$A_{\mathrm{old}} とすれば、

である。これを新基底しんきていnew basisの座標ざひょうcoordinateへ変換へんかんtransformationすると

となる。したがって

である。定義域ていぎいきdomainと終域しゅういきcodomainの基底きていbasisを別々べつべつに変かえる場合ばあいは、定義域側ていぎいきがわdomain sideの変換へんかんtransformationを $$P$$P、終域側しゅういきがわcodomain sideの変換へんかんtransformationを $$Q$$Q として

となる。この式しきformulaが、対角化たいかくかdiagonalizationで現あらわれる $$P^{-1}AP$$P^{-1}AP の基礎きそbasisである。

同おなじ空間くうかんspaceの基底きていbasisだけを変更へんこうchangeする場合ばあい、$$A_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}=P^{-1}{A}_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}P$$A_{\mathrm{new}}=P^{-1}A_{\mathrm{old}}P の関係かんけいrelationにある 2 つの行列ぎょうれつmatrixを相似そうじsimilarityであるという。相似そうじsimilarな行列ぎょうれつmatrixは同一どういつsameの線型写像せんけいしゃぞうlinear mapを異ことなる基底きていbasisで表示ひょうじしたものであり、固有値こゆうちeigenvalue、特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomial、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialを共有きょうゆうする。

6後続こうぞく概念がいねんへの橋渡はしわたし

この節せつでは、後あとで正式せいしきに扱あつかう列基本変形れつきほんへんけいelementary column operation、階数かいすうrank、行列式ぎょうれつしきdeterminantが、線型写像せんけいしゃぞうlinear mapの立場たちばで何なにを測はかるかを先さきに整理せいりする。ここで使つかう階数かいすうrankと行列式ぎょうれつしきdeterminantは後続こうぞくで定義ていぎを詳述しょうじゅつするが、読よみ方かたはこの時点じてんで固定こていしておく。

6.11. 列空間れつくうかんcolumn spaceは像ぞうimageである

$A=[a_1\cdots a_n]$A=[a_1\ \cdots\ a_n] を $m\times n$m\times n 行列ぎょうれつmatrixとし、線型写像せんけいしゃぞうlinear map $T_A:K^n\to K^m$T_A:K^n\to K^m を $T_A\left(x\right)=Ax$T_A(x)=Ax で定義ていぎする。このとき

である。

証明しょうめいする。$x=(x_1,\dots ,x_n{)}^T$x=(x_1,\ldots,x_n)^T と書かくと、

である。したがって $Ax$Ax として現あらわれる出力しゅつりょくoutputは、$A$A の列れつcolumnの線型結合せんけいけつごうlinear combinationである。逆ぎゃくに、列れつcolumnの任意にんいの線型結合せんけいけつごうlinear combination $x_1{a}_1+\cdots +x_n{a}_n$x_1a_1+\cdots+x_na_n は、$x=(x_1,\dots ,x_n{)}^T$x=(x_1,\ldots,x_n)^T を入力にゅうりょくすれば $Ax$Ax として得えられる。よって像ぞうimageと列空間れつくうかんcolumn spaceは一致いっちする。

この証明しょうめいにより、階数かいすうrankが「列れつcolumnの独立どくりつな本数ほんすう」であり、同時どうじに「線型写像せんけいしゃぞうlinear mapの像ぞうimageの次元じげんdimension」である理由りゆうが見みえる。

6.22. 列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationは入力側にゅうりょくがわの可逆かぎゃくinvertibleな変更へんこうである

$F$F を可逆かぎゃくinvertibleな $n\times n$n\times n 行列ぎょうれつmatrixとする。$AF$AF が表あらわす線型写像せんけいしゃぞうlinear mapは、$A$A の写像しゃぞうの前まえに $F$F の写像しゃぞうを適用てきようしたものである。

であるから、$AF$AF は $T_A\circ T_F$T_A\circ T_F を表あらわす。特とくに $F$F が列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationに対応たいおうする基本行列きほんぎょうれつelementary matrixなら、$A\mapsto AF$A\mapsto AF は列れつcolumnの表示ひょうじを変かえる操作そうさであり、入力にゅうりょくの座標ざひょうcoordinateを $x=Fy$x=Fy と置おき直なおすことに対応たいおうする。

この見方みかたから、像ぞうimageが保存ほぞんされることも直ただちに分わかる。$F$F が可逆かぎゃくinvertibleなら $T_F\left(K^n\right)=K^n$T_F(K^n)=K^n なので、

である。よって

となり、階数かいすうrankも保存ほぞんされる。

6.33. 行列式ぎょうれつしきdeterminantは正方せいほうの場合ばあいの体積倍率たいせきばいりつvolume scale factorである

行列式ぎょうれつしきdeterminantは後続こうぞくで定義ていぎするが、役割やくわりだけを先さきに述のべると、$n\times n$n\times n 行列ぎょうれつmatrixが表あらわす線型写像せんけいしゃぞうlinear mapの向むき付づき体積たいせきoriented volumeの倍率ばいりつscale factorである。階数かいすうrankが $n$n より小ちいさいと、$n$n 次元じげんの体積たいせきvolumeは低次元ていじげんへ潰つぶれるため、行列式ぎょうれつしきdeterminantは 0 になる。逆ぎゃくに、行列式ぎょうれつしきdeterminantが 0 でなければ体積たいせきが潰つぶれていないので、階数かいすうrankは $n$n であり、線型写像せんけいしゃぞうlinear mapは可逆かぎゃくinvertibleである。

この関係かんけいは後続こうぞくで

として証明しょうめいする。

7別べつの観点かんてん

7.1幾何的きかてきな観点かんてん

線型写像せんけいしゃぞうlinear mapは、平面へいめんplaneや空間くうかんspaceを伸長しんちょうstretching、縮小しゅくしょうcontraction、回転かいてんrotation、せん断だんshearする変換へんかんtransformationである。この観点かんてんでは、像ぞうimageは「どこへ送おくられるか」、核かくkernelは「どの方向ほうこうdirectionがつぶれるか」を表あらわす。

たとえば行列ぎょうれつmatrix $$A$$A に対たいして $$Ax=0$$Ax=0 を解とくのは、写像しゃぞうmapで原点げんてんoriginへつぶれる方向ほうこうdirectionを検出けんしゅつすることである。したがって掃はき出だし法ほうGaussian eliminationで核かくkernelを確認かくにんする計算けいさんcalculationは、幾何的きかてきgeometricには「どの自由度じゆうどdegree of freedomが消きえるか」を判定はんていする操作そうさoperationとなる。

7.2代数的だいすうてきな観点かんてん

座標計算ざひょうけいさんcoordinate calculationの立場たちばでは、行列ぎょうれつmatrixは成分せいぶんcomponentの表ひょうである。入力にゅうりょくinputの係数けいすうcoefficientをどう組くみ替かえるかを追跡ついせきすれば、写像しゃぞうmapの作用さようactionを数式すうしきformulaとして確認かくにんできる。

7.3構造的こうぞうてきな観点かんてん

写像しゃぞうmapの立場たちばでは、行列ぎょうれつmatrixは空間くうかんspaceをどう変換へんかんtransformationするかそのものである。この 2 つを結合けつごうするのが、基底きていbasisの像ぞうimageという観点かんてんである。つまり行列ぎょうれつmatrixは本体ほんたいではなく、線型写像せんけいしゃぞうlinear mapをある基底きていbasisで表示ひょうじしたものだと考察こうさつするのが大学数学だいがくすうがくuniversity mathematicsでの自然しぜんな立場たちばである。

8どこまで成立せいりつするか

行列ぎょうれつmatrixは基底きていbasisに依存いぞんdependするが、線型写像せんけいしゃぞうlinear mapそのものは基底きていbasisに依存いぞんdependしない。

基底きていbasisを変更へんこうchangeすると同おなじ写像しゃぞうmapであっても別べつの行列ぎょうれつmatrixになる。したがって、行列ぎょうれつmatrixだけを確認かくにんして「これが変換へんかんtransformationそのものだ」と誤認ごにんすると、基底きていbasis依存いぞんdependenceの部分ぶぶんを看過かんかする。

9判定基準はんていきじゅん

• 列れつcolumnごとの意味いみが問とわれているなら、「基底きていベクトルbasis vectorの像ぞうimage」として解釈かいしゃくするのが自然しぜんである。
• 行列積ぎょうれつせきmatrix productが何なにをしているか不明瞭ふめいりょうになったら、「列れつベクトルcolumn vectorの線型結合せんけいけつごうlinear combination」へ還元かんげんする。
• 基底きていbasisを変更へんこうchangeする議論ぎろんが表あらわれたら、写像しゃぞうmapそのものと行列ぎょうれつmatrixの表示ひょうじrepresentationを区別くべつして考察こうさつする。

10最終形さいしゅうけい

11一言ひとことでいうと

• 行列ぎょうれつmatrixの本体ほんたいは線型写像せんけいしゃぞうlinear mapであり、行列ぎょうれつmatrixは基底きていbasis選択せんたくの後あとの座標表示ざひょうひょうじcoordinate representationである。
• 一般いっぱんの基底きていbasisでは、列れつcolumnは基底きていbasisの像ぞうimageの座標ざひょうcoordinateを表あらわす。
• 基底きていbasisを変更へんこうchangeすると、同おなじ線型写像せんけいしゃぞうlinear mapであっても表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixは変化へんかchangeする。

この補足ほそくは、この講義こうぎの本流ほんりゅうの定義ていぎdefinitionではなく、後続こうぞくの「基底変換きていへんかんchange of basisと相似そうじsimilarity」「固有値こゆうちeigenvalueと固有こゆうベクトルeigenvector」「最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomial」への先取さきどりである。ここでは、表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixが基底きていbasisに依存いぞんすることを見みるために必要ひつような最小限さいしょうげんだけを使つかう。

$$P$$P は座標変換行列ざひょうへんかんぎょうれつchange-of-coordinates matrixであり、新あたらしい基底きていbasisでの座標ざひょうcoordinateを古ふるい基底きていbasisでの座標ざひょうcoordinateへ直なおす行列ぎょうれつmatrixである。$$P^{-1}$$P^{-1} は古ふるい座標ざひょうcoordinateを新あたらしい座標ざひょうcoordinateへ戻もどす行列ぎょうれつmatrixで、存在そんざいや計算けいさんは逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixと基底変換きていへんかんchange of basisの講義こうぎで扱あつかう。$$A_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}=P^{-1}{A}_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}P$$A_{\mathrm{new}}=P^{-1}A_{\mathrm{old}}P という形かたちで結むすばれる行列ぎょうれつmatrixを相似そうじsimilarという。

固有値こゆうちeigenvalueは $$Av=\lambda v$$Av=\lambda v となる $$v\ne 0$$v\ne0 が存在そんざいするときのスカラーscalar $$\lambda$$\lambda である。特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialは $$\det (tI-A)$$\det(tI-A)、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは $$m\left(A\right)=0$$m(A)=0 を満みたす最小次数さいしょうじすうのモニック多項式たこうしきmonic polynomialであり、相似そうじsimilarityで変かわらない量りょうとして後続こうぞくで扱あつかう。

線型写像せんけいしゃぞうlinear mapは座標ざひょうcoordinateを選えらぶ前まえの対象たいしょうであり、行列ぎょうれつmatrixは基底きていbasisを選えらんだ後あとの座標表示ざひょうひょうじcoordinate representationである。表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixの列れつcolumnには、定義域ていぎいきdomainの基底きていbasisベクトルの像ぞうimageを終域しゅういきcodomainの基底きていbasisで表あらわした座標ざひょうcoordinateが並ならぶので、基底きていbasisの行いき先さきが分わかれば写像しゃぞうmap全体ぜんたいが決きまる。

確認かくにんすべき点てんは、加法かほうadditionとスカラー倍ばいscalar multiplicationを保たもつこと、核かくkernelを $$0$$0 に送おくられる集合しゅうごうsetとして読よむこと、像ぞうimageを列れつcolumnが張はる空間くうかんspaceとして読よむこと、そして合成ごうせいcompositionを行列積ぎょうれつせきmatrix productが許ゆるす順序じゅんじょで行おこなうことである。定義域ていぎいきdomainや終域しゅういきcodomainの基底きていbasisを変かえても、写像しゃぞうmapそのものは変かわらず、表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixだけが変かわる。

12定理ていりと証明しょうめい：基底きていの行いき先さきが線型写像せんけいしゃぞうを決きめる

$V$V の基底きていを $e_1,\dots ,e_n$e_1,\ldots,e_n とする。線型写像せんけいしゃぞう $T:V\to W$T:V\to W は、$T\left(e_1\right),\dots ,T\left(e_n\right)$T(e_1),\ldots,T(e_n) によって一意いちいに決きまる。

証明しょうめいする。任意にんいの $v\in V$v\in V は基底きていを使つかって

と一意いちいに書かける。線型性せんけいせいより

である。したがって $T\left(e_i\right)$T(e_i) たちが分わかれば、すべての $v$v に対たいする $T\left(v\right)$T(v) が分わかる。

この定理ていりから、行列ぎょうれつの列れつに基底きていベクトルvectorの行いき先さきを並ならべる理由りゆうが分わかる。行列ぎょうれつは線型写像せんけいしゃぞうの全部ぜんぶの情報じょうほうを、基底きていの行いき先さきだけで記録きろくしている。

13演習えんしゅうリンク

14関連かんれんリンク