線型結合せんけいけつごうlinear combinationと張はる空間くうかんの基本きほん

date2026-07-14document_iddoc_98dfd2e7cd6a1b242c8d9e5430620a08description線型結合、張る空間、部分空間を具体的なベクトル計算から導入し、基底・階数・列空間へ進む前提を作る講義である。prerequisitesベクトルの基本演算 / 一次方程式の基本type講義content_typelecturestatusactive

mathlinear-algebraundergraduatelecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、線型結合せんけいけつごうlinear combinationは、与あたえられたベクトルを材料ざいりょうにして到達可能とうたつかのうな方向ほうこうを作つくる操作そうさoperationであるということである。

基底きていbasisや階数かいすうrankを理解りかいするには、まず「どのベクトルを組くみ合あわせると、どの範囲はんいまで到達とうたつできるか」を確認かくにんする必要ひつようがある。

2用語ようごと定義ていぎ

体たい $K$ 上じょうのベクトル空間くうかんを考かんがえる。ベクトル $v_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], v_{k}$ とスカラー $c_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], c_{k} \in K$ に対たいして

c_{1} v_{1} + \dots + c_{k} v_{k}

を線型結合せんけいけつごうLinear combinationという。

張はる空間くうかんSpan とは、すべての線型結合せんけいけつごうlinear combinationで得えられる集合しゅうごうsetである。

span (v_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], v_{k}) = {c_{1} v_{1} + \dots + c_{k} v_{k} ∣ c_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], c_{k} \in K}

部分空間ぶぶんくうかんSubspace とは、零れいベクトルを含ふくみ、和わとスカラー倍ばいで閉とじているベクトル集合しゅうごうsetである。張はる空間くうかんは、材料ざいりょうベクトルを含ふくむ最小さいしょうの部分空間ぶぶんくうかんsubspaceである。

なぜ $span (v_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], v_{k})$ が部分空間ぶぶんくうかんsubspaceになるかを確認かくにんしておく。まず $c_{1} = \dots = c_{k} = 0$ と取とれば零れいベクトルが入はいる。つぎに

x = \sum_{i = 1}^{k} a_{i} v_{i}, y = \sum_{i = 1}^{k} b_{i} v_{i}

が span に属ぞくするとき、

x + y = \sum_{i = 1}^{k} (a_{i} + b_{i}) v_{i}

も同おなじ材料ざいりょうベクトルの線型結合せんけいけつごうlinear combinationである。また、スカラー $r \in K$ について

r x = \sum_{i = 1}^{k} (r a_{i}) v_{i}

も span に属ぞくする。したがって、span は零れいベクトル、和わ、スカラー倍ばいを保たもつ集合しゅうごうsetであり、部分空間ぶぶんくうかんsubspaceである。

3方針ほうしん

2 本ほんのベクトルから始はじめ、係数けいすうcoefficientを変化へんかさせるとどの範囲はんいが得えられるかを確認かくにんする。そのあと、列れつベクトルcolumn vectorを並ならべた行列ぎょうれつmatrixで判定はんていする方法ほうほうへ接続せつぞくする。

data/lecture/math/linear-algebra/vector-operations.lecture.n.md

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

1 本ぽんの非零ひぜろベクトルを定数倍ていすうばいすると、原点げんてんを通とおる 1 本ぽんの直線ちょくせんが得えられる。2 本ほんの向むきが異ことなるベクトルを組くみ合あわせると、平面へいめん全体ぜんたいを作つくれる場合ばあいがある。

線型結合せんけいけつごうlinear combinationは、材料ざいりょうベクトルから作成可能さくせいかのうな全体ぜんたいを調査ちょうさする操作そうさoperationである。

張はる空間くうかんは単たんなる点てんの集あつまりではない。零れいベクトルを含ふくみ、和わとスカラー倍ばいで閉とじるため、部分空間ぶぶんくうかんsubspaceになる。この性質せいしつにより、列空間れつくうかんcolumn spaceや基底きていbasisを同おなじ言葉ことばで記述きじゅつできる。

5厳密げんみつな説明せつめい

$v_{1} = (1, 0)^{T}$ 、 $v_{2} = (0, 1)^{T}$ とする。このとき

a v_{1} + b v_{2} = (a, b)^{T}

である。 $a, b$ を自由じゆうに選択せんたくできるため、 $R^{2}$ の任意にんいのベクトルを表現ひょうげんできる。

一方いっぽう、 $w_{1} = (1, 1)^{T}$ 、 $w_{2} = (2, 2)^{T}$ では

a w_{1} + b w_{2} = (a + 2 b) (1, 1)^{T}

であり、得えられるのは直線ちょくせんだけである。2 本ほんあっても、方向ほうこうが重複ちょうふくしていれば平面へいめん全体ぜんたいは張はれない。

6よくある誤解ごかい

ベクトルの本数ほんすうが多おおければ広ひろい空間くうかんを張はるとは限かぎらない。方向ほうこうの重複ちょうふくが重要じゅうようである。
線型結合せんけいけつごうlinear combinationでは、係数けいすうcoefficientを任意にんいに選択せんたくする。特定とくていの係数けいすうcoefficient 1 組くみだけを考察こうさつしてはならない。
張はる空間くうかんは材料ざいりょうベクトルの配置はいちで決定けっていされる。

7なぜ張はる空間くうかんは部分空間ぶぶんくうかんsubspaceか

材料ざいりょうベクトルを $v_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], v_{k}$ とする。まず、すべての係数けいすうcoefficientを 0 にすれば、

0 = 0 v_{1} + \dots + 0 v_{k}

となるため、零れいベクトルは張はる空間くうかんに含ふくまれる。つぎに、

x = \sum_{i = 1}^{k} a_{i} v_{i}, y = \sum_{i = 1}^{k} b_{i} v_{i}

がどちらも張はる空間くうかんに属ぞくするとする。このとき、

x + y = \sum_{i = 1}^{k} (a_{i} + b_{i}) v_{i}

であり、これも同おなじ材料ざいりょうベクトルの線型結合せんけいけつごうlinear combinationである。したがって、張はる空間くうかんは加法かほうadditionで閉とじている。さらに、スカラーscalar $r$ に対たいして、

r x = \sum_{i = 1}^{k} (r a_{i}) v_{i}

であるため、スカラー倍scalar multiplicationでも閉とじている。ゆえに、張はる空間くうかんは部分空間ぶぶんくうかんsubspaceである。

8具体例ぐたいれい

$v_{1} = (1, 0)^{T}$ 、 $v_{2} = (0, 1)^{T}$ とすると、

a v_{1} + b v_{2} = (a, b)^{T}

であるため、 $R^{2}$ 全体ぜんたいが得えられる。一方いっぽう、 $w_{1} = (1, 1)^{T}$ 、 $w_{2} = (2, 2)^{T}$ なら

a w_{1} + b w_{2} = (a + 2 b) (1, 1)^{T}

となり、張はる空間くうかんは $(1, 1)^{T}$ を通とおる直線ちょくせんだけである。

9定理ていりと証明しょうめい：張はる空間くうかんは最小さいしょうの部分空間ぶぶんくうかんsubspace

$S = {v_{1}, \dots, v_{k}}$ とする。 $span (S)$ は $S$ を含ふくむ部分空間ぶぶんくうかんsubspaceである。もし $U$ が $S$ を含ふくむ部分空間ぶぶんくうかんsubspaceなら、 $U$ は線型結合せんけいけつごうlinear combinationで閉とじているため、 $a_{1} v_{1} + \dots + a_{k} v_{k}$ をすべて含ふくむ。よって

span (S) \subseteq U

であり、張はる空間くうかんは最小さいしょうの部分空間ぶぶんくうかんsubspaceである。

10よくある誤解ごかい

ベクトルの本数ほんすうが多おおくても、重複ちょうふくした方向ほうこうは新あたらしい範囲はんいを増ふやさない。
線型結合せんけいけつごうlinear combinationの係数けいすうcoefficientは固定こていではなく任意にんいに動うごかす。
張はる空間くうかんは和わとスカラー倍ばいで閉とじた対象たいしょうである。

11どこまで成立せいりつするか

線型結合せんけいけつごうlinear combinationの定義ていぎは任意にんいのベクトル空間くうかんで成立せいりつする。多項式たこうしきや関数かんすうにおいても、和わとスカラー倍ばいが定義ていぎされていれば同おなじ考かんがえを用もちいる。

12最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] span (v_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], v_{k}) = {c_{1} v_{1} + \dots + c_{k} v_{k}}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] 張る空間は到達可能な線型結合全体である

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] span (v_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], v_{k}) は部分空間である

13定理ていりと証明しょうめい：張はる空間くうかんは最小さいしょうの部分空間ぶぶんくうかんである

$S = {v_{1}, \dots, v_{k}}$ とする。このとき

span (S) = {a_{1} v_{1} + \dots + a_{k} v_{k} ∣ a_{i} \in F}

は $S$ を含ふくむ最小さいしょうの部分空間ぶぶんくうかんである。

まず、 $span (S)$ は線型結合せんけいけつごうで閉とじている。二ふたつの元げん

x = \sum_{i} a_{i} v_{i}, y = \sum_{i} b_{i} v_{i}

を取とると、任意にんいのスカラーscalar $c, d$ について

c x + d y = \sum_{i} (c a_{i} + d b_{i}) v_{i}

なので、これも $S$ の線型結合せんけいけつごうである。したがって部分空間ぶぶんくうかんである。

つぎに、 $U$ を $S$ を含ふくむ任意にんいの部分空間ぶぶんくうかんとする。 $U$ は線型結合せんけいけつごうで閉とじているので、 $v_{1}, \dots, v_{k}$ のすべての線型結合せんけいけつごうを含ふくむ。よって $span (S) \subseteq U$ である。

したがって、 $span (S)$ は $S$ から線型結合せんけいけつごうだけで作つくれる最小さいしょうの線型世界せんけいせかいである。

14演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/linear-algebra/vectors-and-linear-combinations.exercise.n.md