ベクトルの基本演算きほんえんざん

date2026-07-14document_iddoc_3365b297d0d255378781b8c8569bbcf8descriptionベクトルを成分をもつ計算対象として導入し、和・差・スカラー倍・線型結合から線型代数の基礎操作へ接続する講義である。prerequisites数の四則演算 / 座標平面の基本type講義content_typelecturestatusactive

mathlinear-algebraundergraduatelecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、ベクトルを矢印やじるしとしてだけでなく、成分せいぶんcomponentを持もつ計算対象けいさんたいしょうとして扱あつかうことである。

線型代数せんけいだいすうでは、ベクトルの和わ、差さ、スカラー倍ばい、線型結合せんけいけつごうlinear combinationがすべての入口いりぐちになる。図形的ずけいてきな意味いみだけでなく、成分せいぶんcomponentごとの計算けいさんとして実行じっこうできることが必要ひつようである。

data/lecture/math/vector/introduction-to-vectors.lecture.n.md

2用語ようごと定義ていぎ

ベクトルVector とは、複数ふくすうの数かずを順序じゅんじょつきで並ならべた対象たいしょうである。 $R^{n}$ のベクトルは

v = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix})

と表あらわす。

零れいベクトルZero vector とは、全成分ぜんせいぶんが 0 のベクトルであり、加法かほうの基準きじゅんになる。

標準基底ひょうじゅんきていStandard basis とは、 $R^{n}$ で 1 つの成分せいぶんcomponentだけが 1、他ほかが 0 のベクトルからなる基底きていbasisである。

列れつベクトルColumn vector は成分せいぶんcomponentを縦たてに並ならべたベクトルであり、行ぎょうベクトルRow vector は成分せいぶんcomponentを横よこに並ならべたベクトルである。行列ぎょうれつmatrixとの積せきでは形かたちとサイズ条件じょうけんが重要じゅうようになる。

スカラーScalar とは、ベクトルを拡大かくだい・縮小しゅくしょうする係数けいすうcoefficientである。ここでは実数じっすうreal numberを基本きほんにする。

線型結合せんけいけつごうLinear combination とは、ベクトルにスカラーを掛かけて加くわえた $c_{1} v_{1} + \dots + c_{k} v_{k}$ の形かたちである。

3方針ほうしん

まず 2 次元じげんdimensionで成分せいぶんcomponentごとの計算けいさんを確認かくにんし、そのあと n 次元じげんdimensionへ拡張かくちょうする。線型代数せんけいだいすうでは、次元じげんdimensionが増加ぞうかしても規則きそくは成分せいぶんcomponentごとのまま維持いじされる。

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

ベクトルの和わは、移動いどうを続つづけて実行じっこうすることに対応たいおうする。スカラー倍ばいは、同おなじ方向ほうこうの移動量いどうりょうを変更へんこうすることに対応たいおうする。

成分表示せいぶんひょうじでは、この操作そうさoperationを各座標かくざひょうで別々べつべつに実行じっこうする。したがって、ベクトル演算えんざんは複雑ふくざつな規則きそくではなく、座標軸ざひょうじくごとの同型どうけいな計算けいさんである。

5厳密げんみつな説明せつめい

$u = (u_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], u_{n})^{T}$ 、 $v = (v_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], v_{n})^{T}$ とする。ベクトルの和わと差さは

u + v = (u_{1} + v_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], u_{n} + v_{n})^{T}

u - v = (u_{1} - v_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], u_{n} - v_{n})^{T}

で定義ていぎする。スカラー $c$ に対たいして

c u = (c u_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], c u_{n})^{T}

である。この定義ていぎにより、和わとスカラー倍ばいが同時どうじに扱あつかえる。たとえば

c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2}

は、2 本ほんのベクトルを係数けいすうcoefficientつきで合成ごうせいした線型結合せんけいけつごうlinear combinationである。

6具体例ぐたいれい

$u = (1, 2)^{T}$ 、 $v = (3, - 1)^{T}$ とする。このとき

u + v = (4, 1)^{T}, u - v = (- 2, 3)^{T}

である。また

2 u - 3 v = 2 (1, 2)^{T} - 3 (3, - 1)^{T} = (- 7, 7)^{T}

となる。この計算けいさんでは、第一成分だいいちせいぶんと第二成分だいにせいぶんを独立どくりつindependentに処理しょりしている。

7よくある誤解ごかい

ベクトルを点てんそのものと同一視どういつししない。点てんは位置いちであり、ベクトルは移動量いどうりょうや成分せいぶんcomponentを表あらわす対象たいしょうである。
次元じげんdimensionが増加ぞうかしても、和わとスカラー倍ばいの規則きそくは成分せいぶんcomponentごとである。
線型結合せんけいけつごうlinear combinationは単たんなる足たし算ざんではなく、係数けいすうcoefficientを自由じゆうに選択せんたくして方向ほうこうを合成ごうせいする操作そうさoperationである。

8どこまで成立せいりつするか

ここでは実数じっすうreal numberをスカラーにした。スカラーを複素数ふくそすうcomplex numberにすると複素ふくそcomplexベクトル空間くうかんになる。基本演算きほんえんざんの形かたちは同おなじだが、内積ないせきinner productや角度かくどでは共役きょうやくの扱あつかいが必要ひつようになる。

9最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] u + v = (u_{1} + v_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], u_{n} + v_{n})^{T}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] c u = (c u_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], c u_{n})^{T}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] c_{1} v_{1} + \dots + c_{k} v_{k} が線型結合である

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] v = v_{1} e_{1} + \dots + v_{n} e_{n} (standardbasis)

10一言ひとことでいうと

ベクトルの基本演算きほんえんざんは、成分せいぶんcomponentごとの計算けいさんとして実行じっこうされ、線型結合せんけいけつごうlinear combinationが後続こうぞくの基底きていbasisと階数かいすうrankの入口いりぐちになる。

11演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/linear-algebra/vectors-and-linear-combinations.exercise.n.md