ベクトルと線型結合せんけいけつごうlinear combination-基本演習きほんえんしゅう

1演習えんしゅう方針ほうしん

この演習えんしゅうでは、ベクトルを成分せいぶんcomponentの並ならびとして計算けいさんするだけでなく、空間くうかんの点てんまたは矢印やじるしとして読よむ。線型結合せんけいけつごうlinear combinationは「与あたえられた方向ほうこうをどれだけ混まぜるか」を表あらわし、張はる空間くうかんは「その方向ほうこうだけで到達とうたつできる範囲はんい」を表あらわす。

各かく問題もんだいでは、答こたえだけでなく、どの性質せいしつを確認かくにんしているかを明示めいじする。

共通きょうつうの確認点かくにんてんとして、線型結合せんけいけつごうlinear combinationはベクトルの等式とうしきであり、未知みちなのは新あたらしいベクトルではなく係数けいすうcoefficientである。ベクトル方程式ほうていしきを成分せいぶんcomponentごとの方程式ほうていしきへ直なおし、その解かいを張はる空間くうかんへの所属しょぞく、生成せいせいの失敗しっぱい、または一次従属いちじじゅうぞくlinear dependenceの関係かんけいとして解釈かいしゃくする。

零れいベクトルと係数けいすうcoefficientが一意いちいでない場合ばあいにも注意ちゅういする。非自明ひじめいな係数けいすうcoefficientの関係かんけいで $0$0 が作つくれるなら一次従属いちじじゅうぞくlinear dependenceであり、連立方程式れんりつほうていしきに解かいがなければ目標もくひょうベクトルは張はる空間くうかんの外そとにある。この 2 つは別べつの結論けつろんなので混同こんどうしない。

2問題もんだい 1

に対たいして、$2u-3v$2u-3v を求もとめよ。また、この計算けいさんが幾何的きかてきに何なにをしているかを述のべよ。

2.1解答例かいとうれい

これは、$u$u の方向ほうこうへ $2$2 倍ばいだけ進すすみ、$v$v の逆向ぎゃくむきへ $3$3 倍ばいだけ進すすむ操作そうさoperationである。

2.2解説かいせつ

ベクトルの和わとスカラー倍ばいは、成分せいぶんcomponentごとに行おこなう。この問題もんだいの目的もくてきは、成分計算せいぶんけいさんと矢印やじるしの移動いどうを対応たいおうさせることである。$2u-3v$2u-3v は一ひとつのベクトルだが、その作つくり方かたは「$u$u と $v$v から作つくった線型結合せんけいけつごうlinear combination」である。

3問題もんだい 2

とする。$b$b が $a_1,a_2$a_1,a_2 の線型結合せんけいけつごうlinear combinationで表あらわせるかを判定はんていし、表あらわせるなら係数けいすうcoefficientを求もとめよ。

3.1解答例かいとうれい

とおくと、

である。これを解とくと $y=\frac{11}{5}$y=\frac{11}{5}、$x=\frac{12}{5}$x=\frac{12}{5} である。したがって、

である。

3.2解説かいせつ

「$b$b が $a_1,a_2$a_1,a_2 で張はられる空間くうかんに入はいるか」は、「$x{a}_1+y{a}_2=b$x a_1+y a_2=b を満みたす $x,y$x,y が存在そんざいするか」と同値どうちequivalentである。この同値性どうちせいを確認かくにんしてから連立方程式れんりつほうていしきを解とくので、計算けいさんは単たんなる代入だいにゅうではなく、張はる空間くうかんへの所属判定しょぞくはんていになっている。

4問題もんだい 3

が一次独立いちじどくりつlinear independenceか一次従属いちじじゅうぞくlinear dependenceかを判定はんていせよ。

4.1解答例かいとうれい

とおくと、

である。$c_1=-2c_3$c_1=-2c_3、$c_2=c_3$c_2=c_3 を第だい3 式しきに代入だいにゅうすると、

となり、これは恒等的こうとうてきに成立せいりつする。たとえば $c_3=1$c_3=1 とすると $c_1=-2$c_1=-2、$c_2=1$c_2=1 であり、

である。したがって一次従属いちじじゅうぞくlinear dependenceである。

4.2解説かいせつ

一次独立いちじどくりつlinear independenceとは、$c_1{w}_1+c_2{w}_2+c_3{w}_3=0$c_1w_1+c_2w_2+c_3w_3=0 から $c_1=c_2=c_3=0$c_1=c_2=c_3=0 だけが導みちびかれることである。非自明ひじめいな係数けいすうcoefficientが見みつかれば一次従属いちじじゅうぞくlinear dependenceである。この問題もんだいでは $w_3=2w_1-w_2$w_3=2w_1-w_2 なので、$w_3$w_3 は新あたらしい方向ほうこうを追加ついかしていない。

5問題もんだい 4

で張はられる空間くうかんを幾何的きかてきに説明せつめいせよ。

5.1解答例かいとうれい

$q=2p$q=2p なので、$p,q$p,q は同おなじ方向ほうこうを向むいている。したがって、

であり、原点げんてんを通とおる直線ちょくせんである。

5.2解説かいせつ

2 本ほんのベクトルがあっても、方向ほうこうが同おなじなら平面へいめんは作つくれない。張はる空間くうかんの次元じげんdimensionは、ベクトルの本数ほんすうではなく、独立どくりつindependentな方向ほうこうの数かずで決きまる。この視点してんが階数かいすうrankの理解りかいにつながる。

6問題もんだい 5

次つぎの主張しゅちょうが正ただしいかを判定はんていし、理由りゆうを述のべよ。

1. 零れいベクトルを含ふくむベクトル集合しゅうごうsetは一次従属いちじじゅうぞくlinear dependenceである。
2. 1 本ぽんだけからなる集合しゅうごうset $\left\{u\right\}$\{u\} は、$u\ne 0$u\ne 0 なら一次独立いちじどくりつlinear independenceである。
3. 空からの集合しゅうごうsetは、標準的ひょうじゅんてきな定義ていぎでは一次独立いちじどくりつlinear independenceとして扱あつかう。

6.1解答例かいとうれい

すべて正ただしい。

6.2解説かいせつ

零れいベクトルを含ふくむ場合ばあい、その零れいベクトルに対応たいおうする係数けいすうcoefficientを $1$1、ほかを $0$0 にすれば、非自明ひじめいな線型結合せんけいけつごうlinear combinationで $0$0 が作つくれる。したがって一次従属いちじじゅうぞくlinear dependenceである。1 本ぽんの場合ばあいは $cu=0$cu=0 から、$u\ne 0$u\ne0 なら $c=0$c=0 が従したがう。空集合くうしゅうごうでは反例はんれいとなる非自明ひじめいな係数けいすうcoefficientが存在そんざいしないので、一次独立いちじどくりつlinear independenceと定義ていぎする。このような境界例きょうかいれいを確認かくにんしておくと、基底きていbasisや次元じげんdimensionの議論ぎろんで例外れいがいを見落みおとしにくい。

7補充問題ほじゅうもんだい：講義こうぎから移動いどうした確認かくにん

7.1問題もんだい 6

$u=(2,-1,3{)}^T$u=(2,-1,3)^T、$v=(0,4,1{)}^T$v=(0,4,1)^T に対たいして $u+v$u+v と $3u-2v$3u-2v を計算けいさんせよ。

7.2解答例かいとうれい

$u+v=(2,3,4{)}^T$u+v=(2,3,4)^T、$3u-2v=(6,-11,7{)}^T$3u-2v=(6,-11,7)^T である。

この問題もんだいは、ベクトルの和わとスカラー倍ばいを成分せいぶんcomponentごとに行おこなうことを確認かくにんする。

7.3問題もんだい 7

$a(1,0{)}^T+b(0,1{)}^T=(5,-2{)}^T$a(1,0)^T+b(0,1)^T=(5,-2)^T を満みたす $a,b$a,b を求もとめよ。

7.4解答例かいとうれい

$a=5$a=5、$b=-2$b=-2 である。

この問題もんだいは、標準基底ひょうじゅんきていstandard basisでは係数けいすうcoefficientがそのまま成分せいぶんcomponentになることを確認かくにんする。

7.5問題もんだい 8

$2(1,1{)}^T-(3,-1{)}^T$2(1,1)^T-(3,-1)^T がどの方向ほうこうを表あらわすかを成分せいぶんcomponentで確認かくにんせよ。

7.6解答例かいとうれい

$2(1,1{)}^T-(3,-1{)}^T=(-1,3{)}^T$2(1,1)^T-(3,-1)^T=(-1,3)^T である。

この問題もんだいは、線型結合せんけいけつごうlinear combinationが複数ふくすうの方向ほうこうを係数けいすうcoefficientつきで組くみ合あわせる操作そうさoperationであることを確認かくにんする。

7.7問題もんだい 9

$(1,0{)}^T$(1,0)^T と $(1,1{)}^T$(1,1)^T が $R^2$\mathbb R^2 を張はるか判定はんていせよ。

7.8解答例かいとうれい

$a(1,0{)}^T+b(1,1{)}^T=(a+b,b{)}^T$a(1,0)^T+b(1,1)^T=(a+b,b)^T である。任意にんいの $(x,y{)}^T$(x,y)^T に対たいして $b=y$b=y、$a=x-y$a=x-y と取とれるので、$R^2$\mathbb R^2 を張はる。

この問題もんだいは、「張はる」とは任意にんいの目標もくひょうベクトルを線型結合せんけいけつごうlinear combinationで作つくれることだと確認かくにんする。

7.9問題もんだい 10

$(1,2{)}^T$(1,2)^T と $(2,4{)}^T$(2,4)^T の張はる空間くうかんを説明せつめいせよ。

7.10解答例かいとうれい

$(2,4{)}^T=2(1,2{)}^T$(2,4)^T=2(1,2)^T なので、張はる空間くうかんは $\left\{t\right(1,2{)}^T\mid t\in \mathbb{R}\}$\{t(1,2)^T\mid t\in\mathbb R\} である。

この問題もんだいは、ベクトルの本数ほんすうではなく独立どくりつindependentな方向ほうこうの数かずが張はる空間くうかんを決きめることを確認かくにんする。

7.11問題もんだい 11

$(3,1{)}^T$(3,1)^T が $(1,0{)}^T,(0,1{)}^T$(1,0)^T,(0,1)^T の線型結合せんけいけつごうlinear combinationで表あらわせることを確認かくにんせよ。

7.12解答例かいとうれい

$(3,1{)}^T=3(1,0{)}^T+1(0,1{)}^T$(3,1)^T=3(1,0)^T+1(0,1)^T である。

この問題もんだいは、標準基底ひょうじゅんきていstandard basisが $R^2$\mathbb R^2 全体ぜんたいを張はることを確認かくにんする。

8補充問題ほじゅうもんだい：零れいベクトルと張はる空間くうかんの境界例きょうかいれい

8.1問題もんだい 12

について、$0u$0u、$-u$-u、$u+(-u)$u+(-u) を求もとめ、それぞれが何なにを表あらわすか説明せつめいせよ。

である。$0u$0u は方向ほうこうを失うしなった零れいベクトル、$-u$-u は $u$u と反対向はんたいむきのベクトル、$u+(-u)$u+(-u) は加法逆元かほうぎゃくげんによって零れいベクトルへ戻もどることを表あらわす。

この問題もんだいは、ベクトル演算えんざんで何なにが変かわるかを確認かくにんする境界例きょうかいれいである。$0u$0u は向むきを保存ほぞんせず、$-u$-u は直線ちょくせんそのものは変かえずに向むきを反転はんてんする。

8.2問題もんだい 13

について、

が同おなじ集合しゅうごうsetであることを説明せつめいせよ。

$0=0u$0=0u、$2u$2u は $u$u の定数倍ていすうばいである。したがって、$0$0 や $2u$2u を追加ついかしても、$u$u から作つくれる線型結合せんけいけつごうlinear combinationの範囲はんいは増ふえない。

である。

この問題もんだいは、生成集合せいせいしゅうごうに余分よぶんなベクトルを加くわえても、張はる空間くうかんが変かわらない場合ばあいを確認かくにんする。本数ほんすうが増ふえることと、独立どくりつindependentな方向ほうこうが増ふえることは別べつである。

9関連講義かんれんこうぎ

10証明しょうめい演習えんしゅう：張はる空間くうかんの最小性さいしょうせい

10.1問題もんだい

$S=\{v_1,\dots ,v_k\}$S=\{v_1,\ldots,v_k\} とする。$\mathrm{span}\left(S\right)$\operatorname{span}(S) が $S$S を含ふくむ最小さいしょうの部分空間ぶぶんくうかんであることを証明しょうめいせよ。

10.2解答かいとう

$\mathrm{span}\left(S\right)$\operatorname{span}(S) の二ふたつの元げんは $x=\sum a_i{v}_i$x=\sum a_iv_i、$y=\sum b_i{v}_i$y=\sum b_iv_i と書かける。任意にんいのスカラーscalar $c,d$c,d について

なので、$cx+dy$cx+dy も $S$S の線型結合せんけいけつごうである。したがって $\mathrm{span}\left(S\right)$\operatorname{span}(S) は部分空間ぶぶんくうかんである。

また、$U$U が $S$S を含ふくむ部分空間ぶぶんくうかんなら、$U$U は線型結合せんけいけつごうで閉とじているので、$S$S のすべての線型結合せんけいけつごうを含ふくむ。よって $\mathrm{span}\left(S\right)\subseteq U$\operatorname{span}(S)\subseteq U である。

10.3解説かいせつ

張はる空間くうかんは、与あたえたベクトルvectorから線型結合せんけいけつごうだけで作つくれる最小さいしょうの線型世界せんけいせかいである。