線型性せんけいせいlinearityの基本きほん

date2026-07-14document_iddoc_409a83bf1849062a03c7b6c414f30756description線型性を加法性と同次性から定義し、線型結合、基底ベクトルの像、行列の列へ接続する導入講義である。prerequisites高校ベクトルの和とスカラー倍 / 関数・写像の基本type講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

線型性せんけいせいlinearityは、線型代数せんけいだいすうlinear algebra全体ぜんたいの入口いりぐちである。ここでいう「線型せんけい」とは、ベクトルvectorの足たし算ざんとスカラー倍scalar multiplicationを、写像しゃぞうの前後ぜんごで矛盾むじゅんなく扱あつかえるという意味いみである。

先さきにこの見方みかたを置くterm理由りゆうは、後でterm出でてくる行列ぎょうれつmatrix、基底きていbasis、階数かいすうrank、核かくkernel、像ぞうimageが、すべて「線型写像せんけいしゃぞうlinear mapが何なにを保ちterm、何なにを潰すtermか」という同じterm問いtermで理解りかいできるからである。

2用語ようごと定義ていぎ

集合しゅうごう $V$ , $W$ が同じterm体たい $K$ 上うえのベクトルvector空間くうかんであるとする。写像しゃぞう $T : V - > W$ が線型写像せんけいしゃぞうlinear mapであるとは、任意にんいの $u, v i n V$ と任意にんいの $c i n K$ について、次つぎの2条件じょうけんを満たすtermことである。

T (u + v) = T (u) + T (v)

T (c v) = c T (v)

前者ぜんしゃを加法性かほうせいadditivity、後者こうしゃを同次性どうじせいhomogeneityという。この2つを合わせtermた性質せいしつが線型性せんけいせいlinearityである。

3方針ほうしん

この講義こうぎでは、線型せんけい性せいを「公式こうしきを満たすterm条件じょうけん」として暗記あんきしない。次つぎの順じゅんに理解りかいする。

足し算termを保つtermので、平行四辺形へいこうしへんけいparallelogramの足しterm合わせterm方かたが保たtermれる。
スカラー倍ばいを保つtermので、原点げんてんからの伸びterm縮みtermが保たtermれる。
したがって、線型結合せんけいけつごうlinear combinationがそのまま移るterm。
その結果けっか、基底きていbasisベクトルの像ぞうimageだけで写像しゃぞう全体ぜんたいが決まるterm。

この順じゅんに見るtermと、行列ぎょうれつの列れつが「基底きていベクトルの行きterm先さき」であることも自然しぜんに導かtermれる。

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

4.11. 線型せんけい性せいは骨組みtermを保つterm

線型写像せんけいしゃぞうlinear mapは、原点げんてんを基準きじゅんにした「まっすぐな構造こうぞう」を保つterm。曲げるterm、平行へいこう移動いどうする、二乗にじょうする、といった操作そうさは一般いっぱんに線型せんけいではない。なぜなら、足し算termやスカラー倍ばいを通しtermた後のちの関係かんけいが変わるtermからである。

4.22. 線型せんけい結合けつごうがそのまま移るterm

線型せんけい性せいの一番いちばん重要じゅうような帰結きけつは、有限ゆうげん個このベクトルvector $v_{1}, . . ., v_{n}$ とスカラー $c_{1}, . . ., c_{n}$ について、次つぎが成立するtermことである。

T (c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n}) = c_{1} T (v_{1}) + \dots + c_{n} T (v_{n})

つまり、材料ざいりょうを混ぜtermてから写しtermても、材料ざいりょうを先さきに写しtermてから同じterm係数けいすうで混ぜtermても同じtermになる。

4.33. 基底きていベクトルの像ぞうだけで全体ぜんたいが決まるterm

基底きていbasis $e_{1}, . . ., e_{n}$ を取るtermと、任意にんいの $v$ は一意いちいに

v = x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n}

と書けるterm。線型せんけい性せいより、

T (v) = x_{1} T (e_{1}) + \dots + x_{n} T (e_{n})

である。したがって、 $T (e_{1}), . . ., T (e_{n})$ が分かれtermば、すべての $v$ に対するterm $T (v)$ が分かるterm。

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. 零れいベクトルは零れいベクトルへ移るterm

線型せんけい写像しゃぞう $T$ では、 $T (0) = 0$ が必ずterm成立するterm。理由りゆうは、同どう次つぎ性せいに $c = 0$ を入れるtermと、任意にんいの $v$ について

T (0 v) = 0 T (v)

となるからである。左辺さへんは $T (0)$ 、は $0$ である。ここでは割り算termをしていないので、追加ついかの非ひ零れい条件じょうけんは不要ふようである。る。

5.22. 線型せんけい結合けつごうの保存ほぞん

2項こうの場合ばあいは定義ていぎそのものである。多項たこうの場合ばあいは、加法かほう性せいを繰り返しtermてから同どう次つぎ性せいを使うterm。

T (c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n}) = T (c_{1} v_{1}) + \dots + T (c_{n} v_{n}) = c_{1} T (v_{1}) + \dots + c_{n} T (v_{n})

この事実じじつが後でterm、張る空間span、列空間れつくうかんcolumn space、階数かいすうrankの説明せつめいに使わtermれる。

5.33. 基底きていの像ぞうによる決定けってい

$V$ の基底きていを $e_{1}, . . ., e_{n}$ とする。もし2つの線型せんけい写像しゃぞう $S, T : V - > W$ がすべての基底きていベクトルで一致いっちするなら、任意にんいの $v = x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n}$ について、

S (v) = x_{1} S (e_{1}) + \dots + x_{n} S (e_{n}) = x_{1} T (e_{1}) + \dots + x_{n} T (e_{n}) = T (v)

である。よって $S = T$ である。

6例題れいだい：基底きていの像ぞうから行列ぎょうれつを作るterm

6.1問題もんだい

$T : R^{2} - > R^{2}$ が

T (e_{1}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}), T (e_{2}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix})

を満たすterm線型せんけい写像しゃぞうであるとする。 $T$ を表すterm標準ひょうじゅん基底きていでの行列ぎょうれつを求めterm、さらに $v = (4, 5)^{T}$ の像ぞうを求めtermよ。

6.2解説かいせつ

標準ひょうじゅん基底きていでは、行列ぎょうれつの第だい1列れつが $T (e_{1})$ 、列れつが $T (e_{2})$ である。したがって、て、

A = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & 3 \end{matrix})

である。 $v = 4 e_{1} + 5 e_{2}$ なので、線型せんけい性せいより

T (v) = 4 T (e_{1}) + 5 T (e_{2}) = 4 (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) + 5 (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 19 \end{matrix}) .

これは行列ぎょうれつ積せきでも同じtermである。

A v = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 \\ 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 19 \end{matrix})

この例題れいだいの目的もくてきは、行列ぎょうれつを「数かずの表ひょう」ではなく、「基底きていベクトルの像ぞうを列れつに並べtermたもの」と見るtermことである。この見方みかたが後ごの線型写像と行列linear maps and matrices、基底変換きていへんかんchange of basis、固有値こゆうちeigenvalueの理解りかいにつながる。

7操作そうさで変わるtermもの・保存ほぞんされるもの

線型せんけい写像しゃぞうは、線型せんけい結合けつごう、部分ぶぶん空間くうかんの構造こうぞう、零れいベクトルを保つterm。一方いっぽうで、長ながさ、角度かくど、面積めんせき、次元じげんを常にterm保つtermわけではない。たとえば射影しゃえいは平面へいめん上じょうの情報じょうほうを直線ちょくせんへ潰すtermので、線型せんけいではあるが次元じげんを減らすterm。

この区別くべつは重要じゅうようである。直交行列ちょっこうぎょうれつorthogonal matrixやユニタリ行列unitary matrixは長ながさや角度かくども保つterm特別とくべつな線型せんけい写像しゃぞうであり、階数かいすうrankは潰れtermずに残るterm方向ほうこうの数かずを表すterm。

射影しゃえい、直交行列ちょっこうぎょうれつorthogonal matrix、ユニタリ行列ぎょうれつは後あとで定義ていぎする。ここでは、線型せんけいであっても何なにを保存ほぞんするかは操作そうさごとに異ことなる、という見通みとおしとして読よめばよい。

8定理ていりと証明しょうめい：核かくと像ぞうは線型せんけい構造こうぞうを保つterm

8.1定理ていり

線型せんけい写像しゃぞう $T : V - > W$ に対してterm、 $k e r T$ は $V$ の部分ぶぶん空間くうかんであり、 $i m T$ は $W$ の部分ぶぶん空間くうかんである。

8.2証明しょうめい

まず $k e r T = v i n V | T (v) = 0$ を考えるterm。 $T (0) = 0$ なので $0 i n k e r T$ である。 $u, v i n k e r T$ なら、

T (u + v) = T (u) + T (v) = 0 + 0 = 0

だから $u + v i n k e r T$ である。また $c i n K$ について、

T (c u) = c T (u) = c 0 = 0

だから $c u i n k e r T$ である。よって $k e r T$ は部分ぶぶん空間くうかんである。

次にterm $i m T = T (v) | v i n V$ を考えるterm。 $T (0) = 0$ なので $0 i n i m T$ である。 $y_{1} = T (v_{1})$ , $y_{2} = T (v_{2})$ と書けるtermとき、

y_{1} + y_{2} = T (v_{1}) + T (v_{2}) = T (v_{1} + v_{2})

だから $y_{1} + y_{2} i n i m T$ である。同様どうように、

c y_{1} = c T (v_{1}) = T (c v_{1})

だから $c y_{1} i n i m T$ である。よって $i m T$ は部分ぶぶん空間くうかんである。

9最終形さいしゅうけい

線型せんけい性せいとは、加法かほう性せいと同どう次つぎ性せいを同時にterm満たすtermことである。

T (u + v) = T (u) + T (v), T (c v) = c T (v)

本質ほんしつは、線型せんけい結合けつごうがそのまま移るtermことにある。

T (c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n}) = c_{1} T (v_{1}) + \dots + c_{n} T (v_{n})

このため、基底きていベクトルの像ぞうを指定していすれば線型せんけい写像しゃぞう全体ぜんたいが決まりterm、標準ひょうじゅん基底きていではその像ぞうが行列ぎょうれつの列れつになる。