行列ぎょうれつmatrixの積せきの意味いみ

1導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、行列ぎょうれつmatrixの積せきは成分せいぶんcomponentごとの掛かけ算ざんではなく、線型写像せんけいしゃぞうlinear mapの合成ごうせいを座標ざひょうで表あらわすように定義ていぎされた演算えんざんであるということである。

行列積ぎょうれつせきの規則きそくは不自然ふしぜんに見みえやすいが、列れつベクトルcolumn vectorへ作用さようさせる操作そうさoperationと写像しゃぞうmapの合成ごうせいを要求ようきゅうすると、この形かたちが自然しぜんに現あらわれる。

2用語ようごと定義ていぎ

$A$A を $m\times n$m\times n 行列ぎょうれつmatrix、$B$B を $n\times p$n\times p 行列ぎょうれつmatrixとする。このとき積せき $AB$AB は $m\times p$m\times p 行列ぎょうれつmatrixであり、成分せいぶんcomponentは

で定義ていぎされる。内側うちがわのサイズ $n$n が一致いっちすることが必要ひつようである。

この成分公式せいぶんこうしきは、暗記あんきする規則きそくではない。$B$B の第だい $j$j 列れつcolumnを $b^{\left(j\right)}$b^{(j)} と書かくと、$AB$AB の第だい $j$j 列れつcolumnは

である。つまり、$B$B が標準基底ひょうじゅんきていstandard basisの第だい $j$j 方向ほうこうを $b^{\left(j\right)}$b^{(j)} へ送おくり、その結果けっかに $A$A を作用さようさせたものが、$AB$AB の第だい $j$j 列れつcolumnになる。ここから第だい $i$i 成分せいぶんcomponentを取とると、$A$A の第だい $i$i 行ぎょうrowと $b^{\left(j\right)}$b^{(j)} の内積的ないせきてきな和わになり、

が得えられる。したがって、列れつcolumnへの作用さようと写像しゃぞうmapの合成ごうせいを先さきに考かんがえると、成分公式せいぶんこうしきは後あとから必然的ひつぜんてきに導みちびかれる。

3方針ほうしん

まず数表すうひょうとして計算けいさんし、つぎに列れつベクトルcolumn vectorへの作用さようとして解釈かいしゃくする。最後さいごに、行列積ぎょうれつせきが線型写像せんけいしゃぞうlinear mapの合成ごうせいを表現ひょうげんすることを確認かくにんする。

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

$$A$$A の列れつcolumnを $$a_1,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]},a_n$$a_1,\dots,a_n とする。$$x=(x_1,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]},x_n{)}^T$$x=(x_1,\dots,x_n)^T に対たいして

である。つまり、行列ぎょうれつmatrixは入力にゅうりょくの成分せいぶんcomponentを係数けいすうcoefficientとして、列れつベクトルcolumn vectorを線型結合せんけいけつごうlinear combinationする装置そうちである。

この装置そうちを 2 回かい連続れんぞくで作用さようさせると、行列積ぎょうれつせきが現あらわれる。したがって $$ABx$$ABx は「まず $$B$$B を作用さようさせ、つぎに $$A$$A を作用さようさせる」ことを意味いみする。

5厳密げんみつな説明せつめい

$$B:K^p\to K^n$$B:K^p\to K^n、$$A:K^n\to K^m$$A:K^n\to K^m と考察こうさつする。$$x\in K^p$$x\in K^p に対たいして

となるため、合成写像ごうせいしゃぞうは $$A\circ B$$A\circ B であり、その表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixが $$AB$$AB である。記号きごうの順序じゅんじょは右みぎから作用さようするため、先さきに実行じっこうする行列ぎょうれつmatrixが右側みぎがわに置おかれる。

6列れつcolumnによる解釈かいしゃく

$$A$$A の列れつcolumnを $$a_1,\dots ,a_n$$a_1,\ldots,a_n、$$x=(x_1,\dots ,x_n{)}^T$$x=(x_1,\ldots,x_n)^T とすると、

である。つまり、行列ぎょうれつmatrixは入力にゅうりょくの成分せいぶんcomponentを係数けいすうcoefficientとして、列れつcolumnの線型結合せんけいけつごうlinear combinationを作つくる。$$B$$B の第だい $$j$$j 列れつcolumnを $$b^{\left(j\right)}$$b^{(j)} とすると、$$AB$$AB の第だい $$j$$j 列れつcolumnは

である。

7合成ごうせいによる解釈かいしゃく

$$B:K^p\to K^n$$B:K^p\to K^n、$$A:K^n\to K^m$$A:K^n\to K^m と見みると、

である。したがって合成写像ごうせいしゃぞうは $$AB$$AB で表あらわされる。$$ABx$$ABx では、$$B$$B が先さきに作用さようし、$$A$$A が後あとに作用さようする。

8具体例ぐたいれい

とする。このとき

である。したがって一般いっぱんに $$AB=BA$$AB=BA ではない。順序じゅんじょが変かわると、合成ごうせいする写像しゃぞうmapの順序じゅんじょも変化へんかする。

9定理ていりと証明しょうめい：行列積ぎょうれつせきは合成ごうせいを表あらわす

$$A$$A を $$m\times n$$m\times n、$$B$$B を $$n\times p$$n\times p とする。$$B$$B の列れつcolumnを $$b_1,\dots ,b_p$$b_1,\ldots,b_p と書かく。$$x\in K^p$$x\in K^p に対たいして

である。$$A$$A を作用さようさせ、線型性せんけいせいlinearityを使つかうと

となる。$$AB$$AB の列れつcolumnは $$A{b}_1,\dots ,A{b}_p$$Ab_1,\ldots,Ab_p なので、$$\left(AB\right)x=A\left(Bx\right)$$(AB)x=A(Bx) である。

10よくある誤解ごかい

• 行列積ぎょうれつせきは対応たいおうする成分せいぶんcomponentどうしの積せきではない。
• サイズ条件じょうけんを確認かくにんせずに積せきを計算けいさんしてはならない。
• $$AB$$AB と $$BA$$BA は一般いっぱんに一致いっちしない。合成ごうせいの順序じゅんじょが異ことなるためである。

11どこまで成立せいりつするか

行列積ぎょうれつせきは、線型写像せんけいしゃぞうlinear mapの合成ごうせいと整合せいごうするように定義ていぎされる。成分せいぶんcomponentごとの積せきを使用しようする別べつの演算えんざんも存在そんざいするが、それは標準的ひょうじゅんてきな行列積ぎょうれつせきとは別物べつものである。

12最終形さいしゅうけい

13定理ていりと証明しょうめい：行列積ぎょうれつせきは線型写像せんけいしゃぞうの合成ごうせいである

$A$A を $m\times n$m\times n 行列ぎょうれつ、$B$B を $n\times p$n\times p 行列ぎょうれつとする。このとき、$AB$AB は「まず $B$B を作用さようさせ、つぎに $A$A を作用さようさせる」線型写像せんけいしゃぞうを表あらわす。

証明しょうめいする。$x\in F^p$x\in\mathbb{F}^p とする。$B$B の列れつを $b_1,\dots ,b_p$b_1,\ldots,b_p と書かくと、

である。$A$A を作用さようさせると、線型性せんけいせいより

である。一方いっぽう、$AB$AB の第だい $j$j 列れつは $A{b}_j$Ab_j である。したがって $\left(AB\right)x$(AB)x も同おなじ式しきになる。よって

である。

この証明しょうめいにより、行列積ぎょうれつせきの順番じゅんばんが合成ごうせいの順番じゅんばんを反映はんえいしていることが分わかる。

14演習えんしゅうリンク

15関連かんれんリンク