8補充問題：行列の演算と転置
8.1問題 6
2\times3 行列と 2\times3 行列の和が定義される理由を説明せよ。
8.2解答例
行列の和は同じ位置の成分どうしを足すため、行数と列数が一致している必要がある。どちらも 2\times3 なので定義できる。
8.3問題 7
A=\begin{pmatrix}1&0&2\\3&-1&4\end{pmatrix} に対して -2A を計算せよ。
8.4解答例
-2A=
\begin{pmatrix}
-2&0&-4\\
-6&2&-8
\end{pmatrix}
8.5問題 8
\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix} と \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} のサイズを比較せよ。
8.6解答例
\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix} は 1\times2 行列で、\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} は 2\times1 行列である。
8.7問題 9
2\times3 行列と 3\times4 行列の積のサイズを答えよ。
8.8解答例
内側のサイズ 3 が一致するので積は定義でき、サイズは 2\times4 である。
8.9問題 10
A=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}、x=(3,4)^T に対して Ax を計算せよ。
8.10解答例
Ax=
\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}3\\10\end{pmatrix}
8.11問題 11
行列積が可換でない例を 1 つ構成せよ。
8.12解答例
A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}、B=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix} とすると、
AB=
\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix},
\qquad
BA=
\begin{pmatrix}2&2\\0&1\end{pmatrix}
なので AB\ne BA である。
8.13問題 12
A=\begin{pmatrix}0&1\\2&3\end{pmatrix} の A^T を求めよ。
8.14解答例
A^T=
\begin{pmatrix}
0&2\\
1&3
\end{pmatrix}
8.15問題 13
I_2A=A が成立するための A の行数を確認せよ。
8.16解答例
I_2 は 2\times2 行列なので、I_2A が定義されるには A の行数が 2 である必要がある。
8.17問題 14
(AB)^T=B^TA^T で順序が反転する理由を言語化せよ。
8.18解答例
AB は「まず B、つぎに A」という合成を表す。転置すると行と列の役割が入れ替わるため、合成を戻して読む順序は B^TA^T になる。
8.19問題 15
先取り注意：階数、行空間、列空間は後続の階数の講義・演習で本格的に扱う。この問題では、転置が行と列を入れ替えることから見る発展確認として読む。
A が m\times n 行列のとき、\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^T) となる理由を行空間と列空間の対応から説明せよ。
8.20解答例
A の行空間は A^T の列空間に対応し、A の列空間は A^T の行空間に対応する。行階数と列階数は一致するので、\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^T) である。
8.21問題 16
先取り注意：行基本変形と列基本変形は後続の基本変形の演習で本格的に扱う。この問題では、転置が行の操作を列の操作へ移すことだけを確認する。
A=
\begin{pmatrix}
1&2\\
3&4
\end{pmatrix}
に行基本変形 R_2\leftarrow R_2+3R_1 を行って B を得る。このとき B^T は A^T にどの列基本変形を行ったものか答えよ。
8.22解答例
B=
\begin{pmatrix}
1&2\\
6&10
\end{pmatrix}
なので
B^T=
\begin{pmatrix}
1&6\\
2&10
\end{pmatrix}
である。一方、
A^T=
\begin{pmatrix}
1&3\\
2&4
\end{pmatrix}
であり、A^T の第 2 列に第 1 列の 3 倍を加えると
\begin{pmatrix}
1&6\\
2&10
\end{pmatrix}
になる。したがって、対応する列基本変形は C_2\leftarrow C_2+3C_1 である。
この問題は、転置が行の操作を列の操作へ翻訳することを確認している。
8.23問題 17
A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix},
\qquad
B=\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix},
\qquad
x=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}
について、A(Bx) と (AB)x を計算し、同じ結果になることを確認せよ。
8.24解答例
Bx=
\begin{pmatrix}6\\7\end{pmatrix}
なので
A(Bx)=
\begin{pmatrix}13\\14\end{pmatrix}
である。また
AB=
\begin{pmatrix}
3&1\\
2&2
\end{pmatrix}
だから
(AB)x=
\begin{pmatrix}13\\14\end{pmatrix}
である。
この問題は、行列積 AB が「まず B、つぎに A」という合成を表すことを確認する。
8.25問題 18
A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix},
\qquad
B=
\begin{pmatrix}
1&3\\
2&4
\end{pmatrix}
=
\begin{bmatrix}
b_1&b_2
\end{bmatrix}
について、AB の列が Ab_1,Ab_2 であることを確認せよ。
8.26解答例
AB=
\begin{pmatrix}
5&11\\
2&4
\end{pmatrix}
である。一方、
Ab_1=
\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix},
\qquad
Ab_2=
\begin{pmatrix}11\\4\end{pmatrix}
である。したがって
AB=
\begin{bmatrix}
Ab_1&Ab_2
\end{bmatrix}
である。
この問題は、行列積を成分計算だけでなく、「右の行列の各列を左の行列で写す」と読む練習である。