複素内積ふくそないせきcomplex inner productとユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)

1導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、複素ふくそcomplexの線型代数せんけいだいすうlinear algebraでは、転置てんちtranspose $$A^T$$A^T だけでは内積ないせきinner productと両立りょうりつしないということである。

実数じっすうreal numberの世界せかいでは、対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrix、直交行列ちょっこうぎょうれつorthogonal matrix、転置てんちtranspose $$A^T$$A^T が中心ちゅうしんになる。一方いっぽう、複素数ふくそすうcomplex numberを使つかうと、成分せいぶんcomponentを入いれ替かえるだけでなく複素共役ふくそきょうやくcomplex conjugateも取とる必要ひつようがある。その操作そうさoperationが共役転置きょうやくてんちconjugate transpose $$A^{*}$$A^* である。

2用語ようごと定義ていぎ

複素内積空間ふくそないせきくうかんcomplex inner product spaceとは、複素ふくそベクトル空間くうかんcomplex vector spaceに複素内積ふくそないせきcomplex inner productが入はいった空間くうかんspaceである。

エルミート内積ないせきHermitian inner productとは、共役対称性きょうやくたいしょうせいconjugate symmetryと半線型性はんせんけいせいsesquilinearityを持もつ複素内積ふくそないせきcomplex inner productである。この系列けいれつでは、第だい 1 変数へんすうを線型せんけいlinear、第だい 2 変数へんすうを共役線型きょうやくせんけいconjugate-linearとする。

共役転置きょうやくてんちconjugate transposeとは、複素行列ふくそぎょうれつcomplex matrix $$A=\left(a_{ij}\right)$$A=(a_{ij}) に対たいして、転置てんちしてから各成分かくせいぶんの複素共役ふくそきょうやくcomplex conjugateを取とる操作そうさoperationである。

随伴ずいはんadjointとは、線型写像せんけいしゃぞうlinear map $$T:V\to V$$T:V\to V に対たいして

を満みたす線型写像せんけいしゃぞうlinear map $$T^{*}$$T^* である。標準ひょうじゅんの複素内積ふくそないせきcomplex inner productを使つかう行列表示ぎょうれつひょうじでは、随伴ずいはんadjointは共役転置きょうやくてんちconjugate transpose $$A^{*}$$A^* に対応たいおうする。

エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixとは、

を満みたす複素正方行列ふくそせいほうぎょうれつcomplex square matrixである。これは自己随伴じこずいはんself-adjointな行列ぎょうれつmatrixである。

ユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)とは、

を満みたす複素正方行列ふくそせいほうぎょうれつcomplex square matrixである。

正規行列せいきぎょうれつnormal matrixとは、

を満みたす複素正方行列ふくそせいほうぎょうれつcomplex square matrixである。

3方針ほうしん

まず、複素内積ふくそないせきcomplex inner productでは共役きょうやくがどこに現あらわれるかを固定こていする。つぎに、共役転置きょうやくてんちconjugate transpose $$A^{*}$$A^* が内積ないせきinner productの中なかで何なにを移動いどうしているかを確認かくにんする。そこから、ユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)は長ながさlengthと直交ちょっこうorthogonalityを保存ほぞんし、エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixは内積ないせきinner productと両立りょうりつする伸縮しんしゅくを表あらわす、と整理せいりする。

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

複素数ふくそすうcomplex numberには大おおきさと位相いそうphaseがある。位相いそうphaseを持もつ成分せいぶんcomponentどうしを比くらべるには、ただ掛かけるだけではなく、一方いっぽうを共役きょうやくにして位相差いそうさを測はかる必要ひつようがある。

例れいとして $$z=i$$z=i を考かんがえる。もし単純たんじゅんに $$z^2$$z^2 を長ながさの 2 乗じょうと見みると、$$i^2=-1$$i^2=-1 になり、長ながさが負ふになる。そこで

を使つかう。複素内積ふくそないせきcomplex inner productで複素共役ふくそきょうやくcomplex conjugateが現あらわれる理由りゆうは、この単純たんじゅんな事実じじつにある。

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. 標準ひょうじゅんの複素内積ふくそないせきcomplex inner product

この系列けいれつでは、$$C^n$$\mathbb C^n の標準ひょうじゅんの複素内積ふくそないせきcomplex inner productを

と置おく。この規約きやくでは第だい 1 変数へんすうが線型せんけいlinearである。

一方いっぽう、第だい 2 変数へんすうでは複素共役ふくそきょうやくcomplex conjugateが現あらわれる。

この規約きやくを明示めいじするのは、教科書きょうかしょによって第だい 2 変数へんすうを線型せんけいlinearにする流儀りゅうぎもあるからである。流儀りゅうぎが変かわると、射影係数しゃえいけいすうprojection coefficientや随伴ずいはんadjointの式しきで共役きょうやくの位置いちが変かわる。

5.22. $$A^{*}$$A^* が必要ひつようになる理由りゆう

実行列じつぎょうれつreal matrixでは、標準内積ひょうじゅんないせきに対たいして

が成立せいりつする。複素行列ふくそぎょうれつcomplex matrixでは、同おなじ役割やくわりを果はたすのは $$A^T$$A^T ではなく $$A^{*}$$A^* である。

したがって $$A^{*}$$A^* は、内積ないせきinner productの中なかで線型写像せんけいしゃぞうlinear mapを左側ひだりがわから右側みぎがわへ移うつす操作そうさoperationとして理解りかいできる。

5.33. ユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)が保存ほぞんするもの

$$U^{*}U=I$$U^*U=I なら、任意にんいの $$x,y$$x,y に対たいして

である。したがってユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)は、内積ないせきinner product、長ながさlength、直交ちょっこうorthogonalityを保存ほぞんする。

これは実数じっすうreal numberの直交行列ちょっこうぎょうれつorthogonal matrixの複素数版ふくそすうばんcomplex versionである。

5.44. エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixが意味いみするもの

$$A^{*}=A$$A^*=A なら

である。つまり、エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixは内積ないせきinner productの左右さゆうを入いれ替かえても同おなじ作用さようとして読よめる行列ぎょうれつmatrixである。

次つぎの事実じじつは、固有値こゆうちeigenvalueと対角化たいかくかdiagonalizationを導入どうにゅうした後あとで本格的ほんかくてきに使つかう見通みとおしである。この性質せいしつにより、エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixの固有値こゆうちeigenvalueは実数じっすうreal numberになり、異ことなる固有値こゆうちeigenvalueに属ぞくする固有ベクトルeigenvectorは直交ちょっこうorthogonalする。さらに有限次元ゆうげんじげんでは、ユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)で対角化たいかくかdiagonalizationできる。

5.55. エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixと正規行列せいきぎょうれつnormal matrixの違ちがい

正規行列せいきぎょうれつnormal matrixは $$A^{*}A=A{A}^{*}$$A^*A=AA^* を満みたす。これは $$A$$A と $$A^{*}$$A^* の作用さようが交換こうかんできるという条件じょうけんである。エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixは $$A^{*}=A$$A^*=A なので自動的じどうてきに正規行列せいきぎょうれつnormal matrixである。

表ひょうの固有値こゆうちと対角化たいかくかに関かんする性質せいしつは、後続こうぞくの固有値こゆうち・直交対角化ちょっこうたいかくかの講義こうぎで証明しょうめいする。

6具体例ぐたいれい

6.1例れい 1：複素内積ふくそないせきcomplex inner productを計算けいさんする

とする。この規約きやくでは

である。したがって $$u$$u と $$v$$v は直交ちょっこうorthogonalする。ここで共役きょうやくを忘わすれると $$1·i+i·1=2i$$1\cdot i+i\cdot1=2i となり、直交ちょっこうorthogonalを誤判定ごはんていする。

6.2例れい 2：エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixを判定はんていする

では、

である。したがって $$A$$A はエルミート行列ぎょうれつHermitian matrixである。対角成分たいかくせいぶんは実数じっすうreal numberで、非対角成分ひたいかくせいぶんは互たがいに複素共役ふくそきょうやくcomplex conjugateになっている。

6.3例れい 3：ユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)を判定はんていする

とする。このとき

であり、

である。したがって $$U$$U はユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)である。この行列ぎょうれつmatrixは第だい 2 成分せいぶんcomponentの位相いそうphaseだけを回転かいてんし、長ながさは変かえない。

7判定基準はんていきじゅん

• 複素ふくそ成分せいぶんcomplex entryを含ふくむ内積ないせきinner productでは、必かならず複素共役ふくそきょうやくcomplex conjugateの位置いちを確認かくにんする。
• エルミート内積ないせきHermitian inner productでは、この系列けいれつの規約きやくとして第だい 1 変数へんすうが線型せんけいlinearである。
• ユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)は内積ないせきinner productと長ながさlengthを保存ほぞんする。
• エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixは実対称行列じつたいしょうぎょうれつreal symmetric matrixの複素数版ふくそすうばんcomplex versionである。
• エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixは正規行列せいきぎょうれつnormal matrixであるが、正規行列せいきぎょうれつnormal matrixがすべてエルミート行列ぎょうれつHermitian matrixであるわけではない。

8どこまで成立せいりつするか

随伴ずいはんadjointは内積ないせきinner productに依存いぞんする。標準ひょうじゅんの複素内積ふくそないせきcomplex inner productを使つかう行列ぎょうれつmatrixでは $$A^{*}$$A^* が随伴ずいはんになるが、別べつの内積ないせきinner productを入いれた空間くうかんでは、同おなじ成分表示せいぶんひょうじの行列ぎょうれつmatrixでも随伴ずいはんの行列表示ぎょうれつひょうじが変かわることがある。

また、正規行列せいきぎょうれつnormal matrixのユニタリ対角化たいかくかunitary diagonalizationは有限次元ゆうげんじげんの複素内積空間ふくそないせきくうかんcomplex inner product spaceで扱あつかう主張しゅちょうである。実数じっすうreal numberだけで考かんがえると、回転行列かいてんぎょうれつのように実固有値じつこゆうちreal eigenvalueが足たりない場合ばあいがある。

9最終形さいしゅうけい

10一言ひとことでいうと

• エルミート内積ないせきHermitian inner productは、複素数ふくそすうcomplex numberの位相いそうphaseを含ふくめて長ながさlengthと直交ちょっこうorthogonalityを測はかるための内積ないせきinner productである。
• ユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)は、その内積構造ないせきこうぞうinner product structureを壊こわさない複素線型変換ふくそせんけいへんかんcomplex linear transformationである。

複素ふくそベクトル空間くうかんでは、共役きょうやくは飾かざりではない。$$⟨x,x⟩$$\langle x,x\rangle を実数じっすうかつ非負ひふにするために必要ひつようである。したがって、複素ふくそ内積ないせきinner productと正ただしく対応たいおうする操作そうさは、転置てんち $$A^T$$A^T ではなく共役転置きょうやくてんち $$A^{*}$$A^* である。

ユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix) は $$U^{*}U=I$$U^*U=I を満みたすので、内積ないせき、ノルム、直交ちょっこうorthogonality、距離きょりを保存ほぞんする。正規行列せいきぎょうれつのユニタリ対角化たいかくかは、あとの固有値こゆうちと対角化たいかくかで本格的ほんかくてきに扱あつかう先取さきどりである。このページでは「複素ふくそでは直交行列ちょっこうぎょうれつの役割やくわりをユニタリ行列ぎょうれつが担になう」という見通みとおしとして読よむ。

11定理ていりと証明しょうめい：エルミート行列ぎょうれつの固有値こゆうちeigenvalueは実数じっすうで、異ことなる固有値こゆうちeigenvalueの固有ベクトルeigenvectorは直交ちょっこうorthogonalする

この定理ていりは、後続こうぞくの固有値論こゆうちろんeigenvalue theoryへの橋渡はしわたしである。ここでは固有値こゆうちeigenvalueを本格的ほんかくてきに展開てんかいするのではなく、証明しょうめいで使つかう前提ぜんていを本文ほんぶんの中なかに閉とじておく。

正方行列せいほうぎょうれつsquare matrix $A$A と $v\ne 0$v\ne0 について $Av=\lambda v$Av=\lambda v が成立せいりつするとき、$\lambda$\lambda を固有値こゆうちeigenvalue、$v$v を $\lambda$\lambda に属ぞくする固有ベクトルeigenvectorという。同おなじ $\lambda$\lambda に属ぞくする固有ベクトルeigenvector全体ぜんたいに $0$0 を加くわえた集合しゅうごう

を固有空間こゆうくうかんeigenspaceという。この証明しょうめいで使つかう前提ぜんていは、$v\ne 0$v\ne0 なら $⟨v,v⟩>0$\langle v,v\rangle>0、エルミート性せい $A^{*}=A$A^*=A から $⟨Ax,y⟩=⟨x,Ay⟩$\langle Ax,y\rangle=\langle x,Ay\rangle、そして $Av=\lambda v$Av=\lambda v という固有値こゆうちeigenvalueの定義ていぎだけである。

$$A^{*}=A$$A^*=A とし、$$Av=\lambda v$$Av=\lambda v、$$v\ne 0$$v\ne0 とする。このとき

である。$$⟨v,v⟩>0$$\langle v,v\rangle>0 なので $$\lambda =\stackrel{\_}{\lambda }$$\lambda=\overline{\lambda} となり、$$\lambda$$\lambda は実数じっすうreal numberである。

さらに $$Au=\lambda u$$Au=\lambda u、$$Av=\mu v$$Av=\mu v、$$\lambda \ne \mu$$\lambda\ne\mu とする。エルミート性せいより

である。すでに $$\mu$$\mu は実数じっすうなので $$\stackrel{\_}{\mu }=\mu$$\overline{\mu}=\mu であり、

を得える。$$\lambda \ne \mu$$\lambda\ne\mu より $$⟨u,v⟩=0$$\langle u,v\rangle=0 である。したがって異ことなる固有値こゆうちeigenvalueに属ぞくする固有ベクトルeigenvectorは直交ちょっこうorthogonalする。

この定理ていりは、エルミート行列ぎょうれつが複素ふくその世界せかいでも「実対称行列じつたいしょうぎょうれつと同おなじ幾何きか」を持もつことを示しめしている。

12同値条件どうちじょうけん：ユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)

複素正方行列ふくそせいほうぎょうれつcomplex square matrix $$U$$U について、次つぎは同値どうちequivalentである。

• $$U^{*}U=I$$U^*U=I
• $$U{U}^{*}=I$$UU^*=I
• $$U^{-1}=U^{*}$$U^{-1}=U^*
• $$U$$U の列れつcolumnが正規直交基底せいきちょっこうきていorthonormal basisを成なす
• $$⟨Ux,Uy⟩=⟨x,y⟩$$\langle Ux,Uy\rangle=\langle x,y\rangle が任意にんいの $$x,y$$x,y で成立せいりつする

この同値性どうちせいにより、ユニタリ行列ぎょうれつは「逆行列ぎゃくぎょうれつが共役転置きょうやくてんちで与あたえられる行列ぎょうれつ」とも「内積ないせきinner productを保たもつ座標変換ざひょうへんかん」とも読よめる。

13定理ていりと証明しょうめい：ユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix) は内積ないせきとノルムnormを保たもつ

$U$U がユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)、つまり $U^{*}U=I$U^*U=I を満みたすとする。このとき任意にんいの複素ふくそベクトル $x,y$x,y について

である。

証明しょうめいする。この講義こうぎの規約きやくでは第だい 1 変数へんすうが線型せんけいlinearなので、標準ひょうじゅんの複素内積ふくそないせきcomplex inner productは $⟨x,y⟩=y^{*}x$\langle x,y\rangle=y^*x と書かける。したがって

である。ノルムnormについては $y=x$y=x とおけば

である。両辺りょうへんは非負ひふなので $\parallel Ux\parallel =\parallel x\parallel$\|Ux\|=\|x\| である。

したがって、ユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix)は複素空間ふくそくうかんでの長ながさと角度かくどを保たもつ変換へんかんである。

14演習えんしゅうリンク

15関連かんれんリンク