対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrixと直交対角化ちょっこうたいかくか

1導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrixは、固有値こゆうちeigenvalueだけでなく固有ベクトルeigenvectorの直交性ちょっこうせいまで保証ほしょうする特別とくべつな行列ぎょうれつmatrixであるということである。

一般いっぱんの行列ぎょうれつmatrixは、対角化たいかくかdiagonalizationできるとは限かぎらない。対角化たいかくかdiagonalizationできる場合ばあいであっても、基底きていbasisを構成こうせいする固有ベクトルeigenvectorが互たがいに直交ちょっこうorthogonalするとは限かぎらない。これに対たいして、実対称行列じつたいしょうぎょうれつは正規直交基底せいきちょっこうきていorthonormal basisによって対角化たいかくかdiagonalizationできる。この事実じじつが有限次元ゆうげんじげんのスペクトル定理ていりSpectral theoremである。

2用語ようごと定義ていぎ

対称行列たいしょうぎょうれつSymmetric matrix とは、実正方行列じつせいほうぎょうれつ $$A$$A が

を満みたす行列ぎょうれつmatrixである。

エルミート行列ぎょうれつHermitian matrix とは、複素正方行列ふくそせいほうぎょうれつ $$A$$A が

を満みたす行列ぎょうれつmatrixである。ただし $$A^{*}$$A^* は共役転置きょうやくてんちである。

ユニタリ行列ぎょうれつUnitary matrix とは、複素正方行列ふくそせいほうぎょうれつ $$U$$U が

を満みたす行列ぎょうれつmatrixである。これは複素ふくそcomplex内積ないせきinner product、長ながさ、直交ちょっこうorthogonalを保存ほぞんする行列ぎょうれつmatrixである。

正規行列せいきぎょうれつNormal matrix とは、複素正方行列ふくそせいほうぎょうれつ $$A$$A が

を満みたす行列ぎょうれつmatrixである。エルミート行列ぎょうれつmatrixとユニタリ行列ぎょうれつmatrixは正規行列せいきぎょうれつの代表例だいひょうれいである。

直交対角化ちょっこうたいかくかOrthogonal diagonalization とは、実行列じつぎょうれつ $$A$$A を直交行列ちょっこうぎょうれつorthogonal matrix $$Q$$Q と対角行列たいかくぎょうれつdiagonal matrix $$D$$D によって

と表示ひょうじすることである。複素ふくそcomplexの場合ばあいは、ユニタリ行列ぎょうれつmatrix $$U$$U により

と表示ひょうじする。

3方針ほうしん

方針ほうしんは二段階にだんかいである。まず、対称性たいしょうせいが内積ないせきinner productの中なかで

を意味いみすることを確認かくにんする。つぎに、この関係かんけいから、異ことなる固有値こゆうちeigenvalueに対応たいおうする固有ベクトルeigenvectorが直交ちょっこうorthogonalすることを導出どうしゅつする。

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrixは、入力方向にゅうりょくほうこうと出力方向しゅつりょくほうこうの寄与きよを内積ないせきinner productで測定そくていしたとき、左右さゆうを交換こうかんしても値あたいが変化へんかしない行列ぎょうれつmatrixである。

この対称性たいしょうせいは、空間くうかんの歪ゆがみを生成せいせいする変換へんかんではなく、互たがいに直交ちょっこうorthogonalする主方向しゅほうこうごとの伸縮しんしゅくとして分解ぶんかいできることを示唆しさする。主方向しゅほうこうが固有ベクトルeigenvector、伸縮率しんしゅくりつが固有値こゆうちeigenvalueである。

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. 異ことなる固有値こゆうちeigenvalueの固有ベクトルeigenvectorは直交ちょっこうorthogonalする

$$A$$A を実対称行列じつたいしょうぎょうれつとし、$$Au=\lambda u$$Au=\lambda u、$$Av=\mu v$$Av=\mu v、$$\lambda \ne \mu$$\lambda\ne\mu とする。内積ないせきinner productの対称性たいしょうせいから

である。左辺さへんleft-hand sideと右辺うへんright-hand sideを固有値こゆうちeigenvalueで表現ひょうげんすると

である。したがって

であり、$$\lambda \ne \mu$$\lambda\ne\mu であるため $$⟨u,v⟩=0$$\langle u,v\rangle=0 である。よって $$u$$u と $$v$$v は直交ちょっこうorthogonalする。

複素ふくそcomplexのエルミート行列ぎょうれつHermitian matrixでも同おなじ議論ぎろんが成立せいりつする。$$A^{*}=A$$A^*=A は自己随伴性じこずいはんせいself-adjointnessであり、内積ないせきinner productの中なかで $$A$$A を左右さゆうに移動いどうしても

が成立せいりつする。したがって固有値こゆうちeigenvalueが異ことなれば固有ベクトルeigenvectorは直交ちょっこうorthogonalする。また $$Au=\lambda u$$Au=\lambda u のとき

である。$$u\ne 0$$u\ne0 なら $$⟨u,u⟩>0$$\langle u,u\rangle>0 なので、$$\lambda =\stackrel{\_}{\lambda }$$\lambda=\overline{\lambda} となり、固有値こゆうちeigenvalueは実数じっすうreal numberである。

5.22. 実対称行列じつたいしょうぎょうれつのスペクトル定理ていり

有限次元ゆうげんじげんの実内積空間じつないせきくうかんで、実対称行列じつたいしょうぎょうれつ $$A$$A について次つぎが成立せいりつする。

ここで $$Q$$Q は直交行列ちょっこうぎょうれつorthogonal matrix、$$D$$D は実固有値じつこゆうちを並ならべた対角行列たいかくぎょうれつdiagonal matrixである。$$Q$$Q の列れつcolumnは $$A$$A の正規直交せいきちょっこう固有ベクトルeigenvectorである。

複素ふくそcomplexの場合ばあいは、エルミート行列ぎょうれつmatrix $$A$$A について

が成立せいりつする。ここで $$U$$U はユニタリ行列ぎょうれつmatrixであり、$$D$$D の対角成分たいかくせいぶんは実数じっすうreal numberである。

5.33. 正規行列せいきぎょうれつとの関係かんけい

複素ふくそcomplexの有限次元ゆうげんじげん内積空間ないせきくうかんinner product spaceでは、正規行列せいきぎょうれつはユニタリに対角化たいかくかdiagonalizationできる。すなわち

である。エルミート行列ぎょうれつmatrixは正規行列せいきぎょうれつのうち、固有値こゆうちeigenvalueが実数じっすうreal numberになる特別とくべつな場合ばあいである。実対称行列じつたいしょうぎょうれつは、その実数版じっすうばんとして位置いちづけられる。

この整理せいりにより、一般いっぱんの対角化可能行列たいかくかかのうぎょうれつ、正規行列せいきぎょうれつ、エルミート行列ぎょうれつmatrix、実対称行列じつたいしょうぎょうれつの差異さいが明確めいかくになる。直交ちょっこうorthogonalまたはユニタリな基底きていbasisで対角化たいかくかdiagonalizationできることは、内積構造ないせきこうぞうと両立りょうりつすることを意味いみする。

6具体例ぐたいれい

は対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrixである。固有ベクトルeigenvectorとして

を採用さいようすると、対応たいおうする固有値こゆうちeigenvalueは $$3,1$$3,1 である。したがって

により

と直交対角化ちょっこうたいかくかされる。

7別べつの観点かんてん

通常つうじょうの対角化たいかくかdiagonalizationは、適切てきせつな基底きていbasisを選択せんたくして行列ぎょうれつmatrixを単純化たんじゅんかする操作そうさoperationである。直交対角化ちょっこうたいかくかは、さらにその基底きていbasisを正規直交基底せいきちょっこうきていorthonormal basisにできるという強つよい主張しゅちょうである。

この差異さいは計算上けいさんじょうも幾何学上きかがくじょうも重要じゅうようである。直交行列ちょっこうぎょうれつorthogonal matrixは長ながさと角度かくどを保存ほぞんするため、座標変換ざひょうへんかんによって内積構造ないせきこうぞうが破壊はかいされない。

8判定基準はんていきじゅん

• 実対称行列じつたいしょうぎょうれつなら、直交対角化ちょっこうたいかくかできる。
• エルミート行列ぎょうれつmatrixなら、ユニタリ対角化たいかくかdiagonalizationできる。
• 複素ふくそcomplexでは、ユニタリ対角化たいかくかdiagonalizationできる行列ぎょうれつmatrixは正規行列せいきぎょうれつである。
• 異ことなる固有値こゆうちeigenvalueに対応たいおうする固有ベクトルeigenvectorは直交ちょっこうorthogonalする。
• 固有値こゆうちeigenvalueは、主方向しゅほうこうごとの伸縮率しんしゅくりつとして解釈かいしゃくできる。

9どこまで成立せいりつするか

直交対角化ちょっこうたいかくかは任意にんいの対角化可能行列たいかくかかのうぎょうれつに成立せいりつするわけではない。直交対角化ちょっこうたいかくかには、内積ないせきinner productと両立りょうりつする対称性たいしょうせいが必要ひつようである。複素ふくそcomplexでは対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrixではなくエルミート行列ぎょうれつmatrixを基本対象きほんたいしょうにする。

10最終形さいしゅうけい

11一言ひとことでいうと

• 対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrixは、空間くうかんを直交ちょっこうorthogonalする固有方向こゆうほうこうごとの伸縮しんしゅくへ分解ぶんかいできる行列ぎょうれつmatrixである。

実じつreal対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrixは、互たがいに直交ちょっこうorthogonalする固有ベクトルeigenvectorを十分じゅうぶんに持もち、それらから正規直交基底せいきちょっこうきていorthonormal basisを作つくれる。したがって $$A=QD{Q}^T$$A=QDQ^T、同値どうちに $$Q^{T}AQ=D$$Q^TAQ=D と書かける。ここで $$Q$$Q は直交行列ちょっこうぎょうれつorthogonal matrix、$$D$$D は対角行列たいかくぎょうれつdiagonal matrixである。

重複固有値ちょうふくこゆうちの場合ばあいが誤あやまりやすい。異ことなる固有値こゆうちeigenvalueに属ぞくする固有ベクトルeigenvectorは自動的じどうてきに直交ちょっこうorthogonalするが、同おなじ固有空間こゆうくうかんeigenspaceの中なかでは、さらにグラム・シュミットの直交化ちょっこうかで正規直交基底せいきちょっこうきていorthonormal basisを選えらぶことがある。直交対角化ちょっこうたいかくかは長ながさと角度かくどを保たもつため、二次形式にじけいしきquadratic formや主軸しゅじくの計算けいさんに適てきしている。

12定理ていり：スペクトル定理ていりの実数版じっすうばんと複素数版ふくそすうばん

実数じっすうの有限次元ゆうげんじげん内積空間ないせきくうかんinner product spaceでは、実対称行列じつたいしょうぎょうれつ $$A=A^T$$A=A^T について、正規直交基底せいきちょっこうきていorthonormal basis $$q_1,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]},q_n$$q_1,\dots,q_n が存在そんざいし、それぞれ

を満みたす。したがって

である。

複素ふくその有限次元ゆうげんじげん内積空間ないせきくうかんinner product spaceでは、正規行列せいきぎょうれつnormal matrix $$A^{*}A=A{A}^{*}$$A^*A=AA^* について、ユニタリ行列ぎょうれつ (unitary matrix) $$U$$U と対角行列たいかくぎょうれつdiagonal matrix $$D$$D が存在そんざいして

である。エルミート行列ぎょうれつHermitian matrixはこの特別とくべつな場合ばあいで、$$D$$D の対角成分たいかくせいぶんが実数じっすうになる。

13証明しょうめいの方針ほうしん：1 本ほんの固有こゆうベクトルから直交補空間ちょっこうほくうかんへ

実対称行列じつたいしょうぎょうれつの場合ばあい、特性多項式とくせいたこうしきは実根じつこんを持もつことを用もちいて、まず単位たんい固有ベクトルeigenvector $$q_1$$q_1 を取とる。つぎに $$q_{1^{\perp }}$$q_1^\perp を考かんがえる。$$x\in q_{1^{\perp }}$$x\in q_1^\perp なら

なので、$$Ax\in q_{1^{\perp }}$$Ax\in q_1^\perp である。つまり $$q_{1^{\perp }}$$q_1^\perp は $$A$$A で不変ふへんである。この不変部分空間ふへんぶぶんくうかんに帰納法きのうほうを適用てきようすると、残のこりの正規直交せいきちょっこう固有ベクトルeigenvectorを得える。

この証明しょうめいの要点ようてんは、対称性たいしょうせいが直交補空間ちょっこうほくうかんorthogonal complementを保たもつことである。ここが一般いっぱんの行列ぎょうれつでは失敗しっぱいする。

14反例はんれい：対角化可能たいかくかかのうdiagonalizableでも直交対角化ちょっこうたいかくかできない場合ばあい

は固有値こゆうちeigenvalue $$1,2$$1,2 を持もつので対角化可能たいかくかかのうである。しかし $$A^T\ne A$$A^T\ne A であり、直交対角化ちょっこうたいかくかはできない。実際じっさい、直交行列ちょっこうぎょうれつorthogonal matrix $$Q$$Q で $$Q^{T}AQ=D$$Q^TAQ=D と書かけるなら $$A=QD{Q}^T$$A=QDQ^T となり、右辺うへんは対称行列たいしょうぎょうれつになるため $$A$$A も対称たいしょうでなければならない。これは矛盾むじゅんである。

この反例はんれいは、「対角化可能たいかくかかのう」と「直交対角化可能ちょっこうたいかくかかのう」が異ことなる条件じょうけんであることを示しめしている。

15演習えんしゅうリンク

16関連かんれんリンク