線型性せんけいせいlinearityと線型写像せんけいしゃぞうlinear map-基本演習きほんえんしゅう

1演習えんしゅう方針ほうしん

線型写像せんけいしゃぞうlinear mapかどうかは、いくつかの数値例すうちれいではなく、任意にんいのベクトルvectorとスカラーscalarについて加法性かほうせいadditivityと同次性どうじせいhomogeneityを確認かくにんして判定はんていする。

反例はんれいcounterexampleを示しめすときは、加法性かほうせいadditivityまたは同次性どうじせいhomogeneityのどちらかが破やぶれる 1 例れいを出だせばよい。証明しょうめいproofするときは、任意にんいの文字もじで計算けいさんする。

2問題もんだい 1

$T:R^2\to R^2$T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 を

で定義ていぎする。$T$T が線型写像せんけいしゃぞうlinear mapであることを示しめせ。

2.1解答例かいとうれい

$u=(x_1,y_1{)}^T$u=(x_1,y_1)^T、$v=(x_2,y_2{)}^T$v=(x_2,y_2)^T とする。

であり、

なので加法性かほうせいadditivityが成立せいりつする。

また、スカラー $c$c について

なので同次性どうじせいhomogeneityも成立せいりつする。したがって $T$T は線型写像せんけいしゃぞうlinear mapである。

2.2解説かいせつ

この問題もんだいでは、線型性せんけいせいlinearityを定義ていぎdefinitionから確認かくにんしている。係数けいすうcoefficientつきの一次式いちじしきlinear expressionで作つくられていても、任意にんいの $u,v,c$u,v,c について加法性かほうせいadditivityと同次性どうじせいhomogeneityを確認かくにんするまでは証明しょうめいproofにならない。

3問題もんだい 2

$S:R^2\to R^2$S:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 を

で定義ていぎする。$S$S が線型写像せんけいしゃぞうlinear mapではないことを示しめせ。

3.1解答例かいとうれい

線型写像せんけいしゃぞうlinear mapなら $S\left(0\right)=0$S(0)=0 でなければならない。しかし

である。したがって $S$S は線型写像せんけいしゃぞうlinear mapではない。

3.2解説かいせつ

平行移動へいこういどうtranslationは直線ちょくせんlineを直線ちょくせんlineへ移うつすが、原点げんてんoriginを原点げんてんoriginへ保たもたないため線型せんけいlinearではない。線型性せんけいせいlinearityの反例はんれいcounterexampleでは、まず $T\left(0\right)=0$T(0)=0 を満みたすかを確認かくにんすると早はやい。

4問題もんだい 3

$R:R^2\to R^2$R:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 を

で定義ていぎする。$R$R が線型写像せんけいしゃぞうlinear mapではないことを、同次性どうじせいhomogeneityの失敗しっぱいから示しめせ。

4.1解答例かいとうれい

$u=(1,0{)}^T$u=(1,0)^T、$c=2$c=2 とすると、

である。一方いっぽう、

である。したがって $R\left(2u\right)\ne 2R\left(u\right)$R(2u)\ne2R(u) であり、同次性どうじせいhomogeneityが成立せいりつしない。

4.2解説かいせつ

$x^2$x^2 のような非線型ひせんけいnonlinearな項こうtermがあると、スカラー倍ばいscalar multiplicationの倍率ばいりつが保たもたれない。この問題もんだいは、原点げんてんoriginを保たもつだけでは線型性せんけいせいlinearityに十分じゅうぶんでないことを確認かくにんしている。

5問題もんだい 4

線型写像せんけいしゃぞうlinear map $T:R^3\to R^2$T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2 が

を満みたすとする。$T$T の標準基底ひょうじゅんきていstandard basisに関かんする行列ぎょうれつmatrixを求もとめ、$T(2,-1,4{)}^T$T(2,-1,4)^T を計算けいさんせよ。

5.1解答例かいとうれい

行列ぎょうれつmatrixの列れつcolumnは標準基底ひょうじゅんきていstandard basisの像ぞうimageなので、

である。また

したがって、

である。

5.2解説かいせつ

この問題もんだいは、行列ぎょうれつmatrixの列れつcolumnが基底きていベクトルbasis vectorの行ゆき先さきdestinationを記録きろくしていることを確認かくにんしている。線型性せんけいせいlinearityがあるため、任意にんいの入力にゅうりょくinputは基底きていbasisの像ぞうimageの同おなじ係数けいすうcoefficientによる線型結合せんけいけつごうlinear combinationで計算けいさんできる。

6問題もんだい 5

線型写像せんけいしゃぞうlinear map $T:V\to W$T:V\to W とベクトルvector $v_1,v_2$v_1,v_2 について、$v_2=3v_1$v_2=3v_1 が成立せいりつするとする。このとき $T\left(v_2\right)$T(v_2) と $T\left(v_1\right)$T(v_1) の関係かんけいrelationを述のべよ。

6.1解答例かいとうれい

同次性どうじせいhomogeneityより

である。

6.2解説かいせつ

線型写像せんけいしゃぞうlinear mapは線型結合せんけいけつごうlinear combinationの関係かんけいrelationを保存ほぞんする。したがって、入力側にゅうりょくがわinput sideで従属じゅうぞくdependentしている関係かんけいrelationは、出力側しゅつりょくがわoutput sideでも同おなじ係数けいすうcoefficientの関係かんけいrelationとして残のこる。ただし、逆ぎゃくに出力側しゅつりょくがわoutput sideで従属じゅうぞくdependentしているからといって、入力側にゅうりょくがわinput sideで同おなじ関係かんけいrelationがあったとは限かぎらない。

7問題もんだい 6

$T:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$T:\mathbb C\to\mathbb C を

で定義ていぎする。$\mathbb{C}$\mathbb C を $\mathbb{R}$\mathbb R 上じょうのベクトル空間くうかんと見みると $T$T が実線型じつせんけいreal-linearであり、$\mathbb{C}$\mathbb C 上じょうのベクトル空間くうかんと見みると複素線型ふくそせんけいcomplex-linearではないことを示しめせ。

7.1解答例かいとうれい

$z,w\in \mathbb{C}$z,w\in\mathbb C について

である。また、$a\in \mathbb{R}$a\in\mathbb R なら

なので、$T$T は実線型じつせんけいreal-linearである。

一方いっぽう、複素ふくそcomplexのスカラーscalar $i$i を使つかうと、

だが、

である。したがって $T(i·1)\ne iT\left(1\right)$T(i\cdot1)\ne iT(1) であり、複素線型ふくそせんけいcomplex-linearではない。

7.2解説かいせつ

この問題もんだいは、線型性せんけいせいlinearityが「どの体たいをスカラーscalarとして使つかうか」に依存いぞんすることを確認かくにんしている。同おなじ写像しゃぞうmapでも、実数じっすうreal numberのスカラーscalarだけを許ゆるす場合ばあいと、複素数ふくそすうcomplex numberのスカラーscalarを許ゆるす場合ばあいで同次性どうじせいhomogeneityの意味いみが変かわる。

8関連講義かんれんこうぎ

9証明しょうめい演習えんしゅう：核かくと像ぞうが部分空間ぶぶんくうかんであること

9.1問題もんだい

$T:V\to W$T:V\to W を線型写像せんけいしゃぞうとする。$\ker T$\ker T が $V$V の部分空間ぶぶんくうかんであり、$\mathrm{Im}T$\operatorname{Im}T が $W$W の部分空間ぶぶんくうかんであることを証明しょうめいせよ。

9.2解答かいとう

$u,v\in \ker T$u,v\in\ker T、$a,b$a,b をスカラーscalarとする。線型性せんけいせいより

である。よって $au+bv\in \ker T$au+bv\in\ker T である。

$y_1,y_2\in \mathrm{Im}T$y_1,y_2\in\operatorname{Im}T なら、ある $v_1,v_2$v_1,v_2 について $y_1=T\left(v_1\right)$y_1=T(v_1)、$y_2=T\left(v_2\right)$y_2=T(v_2) と書かける。このとき

なので、$a{y}_1+b{y}_2\in \mathrm{Im}T$ay_1+by_2\in\operatorname{Im}T である。

9.3解説かいせつ

核かくは 0 に潰つぶれる方向ほうこう、像ぞうは到達とうたつできる範囲はんいである。どちらも線型結合せんけいけつごうで閉とじることが本質ほんしつである。